Producto Kronecker

PRODUCTO KRONECKER, OPERADORES VEC Y VECH

Por

Arly del Carmen Mart´
ınez Herrera

Trabajo presentado como requisito parcial para
optar al t´
ıtulo de Matem´tico
a

Director
Carlos Banquet Brango

Universidad de C´rdoba
o
Facultad de Ciencias B´sicas
a
Departamento de Matem´ticas y Estad´
a
ıstica
Noviembre de 2011

´
FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
´
DEPARTAMENTO DEMATEMATICAS Y ESTAD´
ISTICA
Los jurados abajo firmantes certifican que han le´ y que aprueban el trabajo de
ıdo
grado titulado Producto Kronecker, Operadores Vec y Vech, presentado por
Arly del Carmen Mart´
ınez Herrera.

Fecha: Noviembre de 2011

Director:

Carlos Banquet Brango

Jurado:

Carlos Reales Mart´
ınez

Jurado:

Guillermo Mart´
ınez Fl´rez
o

ii

Con todo mi amorpara los seres
que me dieron la vida: Mis padres,
Ana Matilde y Alfredo Rafael.
De manera especial a mis sobrinos
Amaury Andr´s y Samuel Jos´,
e
e
motivo de alegr´a en mi vida.
ı

iii

Contenido
Resumen

v

Agradecimientos

vi

Introducci´n
o

1

1. Preliminares

3

Preliminares

3

1.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.2. Traza de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5. Inversas generalizadas

8

..........................

2. Producto Kronecker

9

3. Operadores Vec, Vech yReformulaci´n del Sistema AX = B
o

22

3.1. Operador Vec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.2. Operador Vech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.3. Reformulaci´n del sistema AX = B . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

34

4. Algunas Aplicaciones

40

Bibliograf´
ıa

48
iv

Resumen
El presente trabajo hacereferencia al producto kronecker y a los operadores vec y
vech, los cuales tienen mucha aplicaci´n en diversas ´reas de la ciencia, no obstante,
o
a
bas´ndonos en la importancia que ha adquirido el lenguaje de matrices se presentan
a
algunas propiedades del producto kronecker y su aplicaci´n a trav´s de la utilizaci´n
o
e
o
de los operadores vec y vech en la reformulaci´n de un sistemalineal de la foro
ma AX=B, as´ como tambi´n mostramos algunos ejemplos que involucran dichas
ı
e
propiedades.

v

Agradecimientos
En primer lugar te doy gracias Dios por darme la fuerza y la valent´ para hacer
ıa
realidad este sue˜o, porque sin tu ayuda no hubiera podido salir adelante en los
n
momentos dif´
ıciles y en las duras pruebas, fuiste mi gu´ y siempre iluminaste mis
ıapasos en la universidad. Gracias por permitirme ser tu hija, bendito seas.
A la Universidad de C´rdoba, por los servicios prestados y por permitir que me
o
formara como profesional.
A mi pap´ Alfredo, por haber sido mi apoyo hasta ahora, gracias por haber confiado
a
en m´ por preocuparte en brindarme educaci´n y porque siempre trabajaste para
ı,
o
darme lo necesario y as´ poder llegarhasta aqu´ quiero decirte que te quiero mucho
ı
ı,
y que este triunfo es tambi´n tuyo.
e
A mi mam´ Ana Matilde, por tu apoyo incondicional, por todos los desvelos que has
a
tenido durante mi crianza, por darme ´nimo en los momentos m´s dif´
a
a
ıciles de mi vida,
por todos los sacrificios y esfuerzos, por haberme formado como una persona de bien y
por ser la mujer que me dio la vida y meense˜´ a vivirla a´n en las adversidades. Las
no
u
palabras no son suficientes para agradecerte todo lo que has hecho por m´ Aqu´ est´n
ı.
ıa
mis logros y los quiero compartir contigo.
A mi hermana Emerlys, por tolerarme y preocuparte por m´ cuando las cosas no
ı
estaban bien, gracias por ser ejemplo de constancia, esfuerzo y superaci´n; s´ que
o
e
as´ como hoy t´ disfrutas de mi grado,...