Producto notable

Productos Notables.
Definición:
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.
Tipos:
1. Binomio de Suma al Cuadrado
( a+ b )2 = a2 + 2ab + b2
2. Binomio Diferencia al Cuadrado
( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
3. Diferencia de Cuadrados
( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2
4. Binomio Suma al Cubo
( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
= a3 + b3 + 3 ab (a + b)
5. Binomio Diferencia al Cubo
( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3
6. Suma de dos Cubos
a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)
7. Diferencia de Cubos
a3 - b3 = (a - b ) ( a2 + ab + b2)
8. Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio
( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
= a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)
9. Trinomio Suma al Cubo
( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)
10. Identidades de Legendre
( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)
( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab
11. Producto de dos binomios que tienen untérmino común
( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
Factorización
Definición:

En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste en la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, entre otras) en forma de producto. Existen diferentes métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivoes simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.
Métodos.
1. Factor común.
2. Factor común por agrupación de términos.
3. Trinomio Cuadrado Perfecto.
4. Diferencia de cuadrados.
5. Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción.6. Trinomio de la forma x2 + bx + c
7. Suma o diferencia de potencias a la n.
8. Trinomio de la forma ax2 + bx + c.
9. Cubo perfecto de Tetranomios.
10. Divisores binómicos.
11. Triángulo de Pascal y factorización.

1. Factor común
Sacar el factor común es añadir el literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.Factor común monomio
Factor común por agrupación de términos

 
y si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.
Factor común polinomio
Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.
Un ejemplo:

Se apreciaclaramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:

La respuesta es:

En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:

Se puede utilizar como:

Entonces la respuesta es:


2. Factor común por agrupación de términos
Para trabajar un polinomio por agrupación detérminos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.
Un ejemplo numérico puede ser:

Entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

Aplicamos el caso Factor común.


Ejercicio # 2 del algebra am - bm + an - bn =(am-bm)+(an-bn) =M(a-b)+ n(a-b =(a-b)(m+n)
3. Trinomio Cuadrado Perfecto
Se identifica por tener trestérminos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis,...