Producto Punto

Producto punto
Sean dos vectores y en

el espacio vectorial . El producto vectorial entre y da como resultado un nuevo vector, . Para definir este nuevo vector es necesario especificar su módulo y dirección:
• El módulo de está dado por

donde θ es el ángulo determinado por los vectores a y b.
• La dirección del vector c, que es ortogonal a a y ortogonal a b, está dada por laregla de la mano derecha.
El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante a ∧ b.
El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:



Relaciones entre los vectores.

 donde es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorcho.
[editar] Producto vectorial de dos vectores

Sean y dos vectores concurrentes de , el espacio afín tridimensional según la base anterior.
Se define elproducto , y se escribe , como el vector:

En el que

es el determinante de orden 2.
O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo por la primera fila de un determinante simbólico de orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera fila no son escalares):

Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia elsegundo por el ángulo más pequeño, la dirección de es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección.
La siguiente expresión, aunque carece de significado matemático estricto, sirve de método nemónico para recordar el orden de las coordenadas en el producto:[cita requerida]

Ejemplo
El producto vectorial de los vectores y se calcula del siguiente modo:

Expandiendo el determinante:Puede verificarse fácilmente que es ortogonal a los vectores y efectuando el producto escalar y verificando que éste es nulo (condición de perpend
Propiedades
[editar] Identidades
Cualesquiera que sean los vectores , y :
1. , (anticonmutatividad)
2. , cancelación por ortogonalidad.
3. Si con y , ; esto es, la anulación del producto vectorial proporciona la condición deparalelismo entre dos direcciones.
4. .
5. , conocida como regla de la expulsión.
6. , conocida como identidad de Jacobi.
7. , en la expresión del término de la derecha, sería el módulo de los vectores a y b, siendo ,el ángulo menor entre los vectores y ; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.
8. El vector unitario es normalal plano que contiene a los vectores y .
Producto punto
En matemática, el producto escalar, también conocido como producto interno, interior o punto (en inglés, dot product), es una operación definida sobre dos vectores de un espacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar. Esta operación permite explotar los conceptos de la geometría euclidiana tradicional: longitudes, ángulos,ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.
Definición general
El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es unaforma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.
Un producto escalar se puede expresar como una expresión donde V es un espacio vectorial y es el cuerpo sobre el que está definido B. debe satisfacer las siguientes condiciones:
1. Linealidad por la izquierda: , y linealidad conjugada por la derecha:
2. Hermiticidad: ,...