Producto Punto

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA
MECÁNICA Y ELÉCTRICA
UNIDAD AZCAPOTZALCO

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA
MECÁNICA Y ELÉCTRICAUNIDAD AZCAPOTZALCO

s

FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA
PRODUCTO ESCALAR Y ORTOGONALIDAD

PROFESOR LUIS CASTILLO OLIVARES

¿Qué es Productoescalar?
El producto escalar, también conocido como producto interior o producto punto es una operación definida sobre dos vectores de un espacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar. Estaoperación permite explotar los conceptos de la geometría euclidiana tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones.
El producto escalar puede definirse también en losespacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR
1. Distributiva: uv+w = u* v+ u* w
2. Conmutativa: u* v=v*u
3.-Dos vectores se dicen perpendiculares si u* v=0
Producto escalar

Expresión analítica del producto escalar

Expresión analítica del ángulo de dos vectores



Ejemplo:
Dados losvectores  y  hallar:
1. Los módulos de  y ·

2. El producto escalar de  y ·

3. El ángulo que forman.

Probar que la aplicación siguiente es un producto escalar:
(X1; x2) * (y1; y2) = 2x1 y1 +x2 y1 + x1 y2 + x2 y2
A la aplicación:
V→∋R
v→ v*v
La llamaremos cuadrado escalar, y la denotaremos por v2=v* v
Longitud
Llamaremos longitud o norma de un vector al número real:
v=v v= v2ORTOGONALIDAD
Dado un vector V=(x,y) , cómo encontrar otro vector w = (a, b)∈ R2 que sea ortogonal a V? Es decir, que se cumpla V∙W=0
Para lograrlo, se debe satisfacer que
Xa+Yb=0
es decir,que a=-Ybx con lo cual, el vector w es
W=-Ybx,b=b(-Yx,1)
El parámetro b puede ser cualquier número, básicamente es una recta. De manera particular podemos elegir b=x con lo que el vector W=(-y, x)...