Producto tensorial

Producto tensorial
0.1 Transformaciones multilineales

Definici´n 1 Sean E, F y G tres espacios vectoriales. Una transformaci´n o o ϕ : E × F −→ G se llama bilineal si satisface las siguientes condiciones: ϕ(λx1 + x2 , y) = λϕ(x1 , y) + ϕ(x2 , y) ϕ(x, λy1 + y2 ) = λϕ(x, y1 ) + ϕ(x, y2 ) ; x1 , x2 ∈ E, y ∈ F ; λ ∈ R ´ C o ; y1 , y2 ∈ F, x ∈ E; λ ∈ R ´ C. o

Observaci´n: Si G = R ´ C, ϕ sellama una funci´n bilineal. o o o Sea ϕ(E × F ) := {z ∈ G / z = ϕ(x, y) ; x ∈ E , y ∈ F }. Entonces ϕ(E × F ) no es necesariamente un subespacio de G. Por lo tanto denotamos: im ϕ = ϕ(E × F ) ≡ subespacio generado por ϕ(E × F ). Adem´s, denotamos a B(E, F ; G) := {ϕ : E × F −→ G / ϕ es transformaci´n bilineal }. o Si definimos (ϕ1 + ϕ2 )(x, y) = ϕ1 (x, y) + ϕ2 (x, y) (λϕ)(x, y) = λϕ(x, y) ; x ∈ E, y ∈F

; x ∈ E, y ∈ F, λ ∈ R ´ C. o

Entonces B(E, F ; G) es un espacio vectorial. Observaci´n: Si G = R ´ C, B(E, F ; G) ≡ B(E × F ) es el espacio de o o todas las funciones bilineales de E × F en R ´ C. o 1

Definici´n 2 Sean E, F y G espacios vectoriales y sea ϕ : E ×F −→ G una o transformaci´n bilineal. El par (G, ϕ) se llama un producto tensorial para E o y F si se satisfacen lascondiciones siguientes: ⊗1 : im ϕ = G. ⊗2 : Si ψ : E ×F −→ H es una transformaci´n bilineal de E ×F en cualquier o espacio vectorial H, entonces existe una transformaci´n lineal f : G −→ H o tal que ψ = f ◦ ϕ (Propiedad de factorizaci´n). o Observaci´n: En forma de diagrama, ⊗2 dice que el diagrama: o E × F −→ H
ϕ ψ

↓ G

puede siempre completarse a un diagrama conmutativo: E × F −→ H
ϕ ψ

↓ G

f.

Proposici´n 3 Las condiciones ⊗1 y ⊗2 son equivalentes a la condici´n : o o ⊗: Si ψ : E × F −→ H es una transformaci´n bilineal en cualquier espacio o vectorial H, entonces existe una unica transformaci´n lineal f : G −→ H tal ´ o que ψ = f ◦ ϕ (propiedad de factorizaci´n unica). o ´ Demostraci´n. o (i) Sea ψ : E × F −→ H y supongamos que existen dos transformaciones lineales f1 : G −→ H yf2 : G −→ H tales que ψ = f1 ◦ ϕ y 2 ψ = f2 ◦ ϕ.

Entonces (f1 − f2 ) ◦ ϕ = 0. Lo cual implica que f1 = f2 . En efecto: Sea x ∈ G. Por ⊗1 , x ∈ ϕ(E × F ) , esto es, x = λi ϕ(xi , yi ); donde xi ∈ E, yi ∈ F . Luego: λi (f1 ◦ ϕ)(xi , yi ) − λi ψ(xi , yi ) − λi (f2 ◦ ϕ)(xi , yi )

(f1 − f2 )(x) = = = 0.

λi ψ(xi , yi )

(ii) Supongamos que el par (G, ϕ) satisface ⊗. Entonces ⊗2 se cumple.Debemos probar ⊗1 . En efecto: se define la aplicaci´n bilineal ϕ∗ : E ×F −→ o im ϕ por ϕ∗ (x, y) = ϕ(x, y) (esto es, tomamos H = im ϕ) E × F −→ im ϕ
ϕ ϕ∗

↓ G
f

.

Por hip´tesis existe f : G −→ im ϕ tal que f ◦ ϕ = ϕ∗ . o Sea j : im ϕ −→ G la inclusi´n can´nica (i.e. j(x) = x ∀ x, pues im ϕ es un o o subespacio de G). Entonces j ◦ ϕ∗ = ϕ. Adem´s, a (j ◦ f ) ◦ ϕ = j ◦ (f ◦ ϕ) = j ◦ ϕ∗ = ϕ.Pero, por otra parte, i ◦ ϕ = ϕ, donde i : G −→ G es la identidad (i.e. i(x) = x ∀ x). Luego, por unicidad, se debe tener: j ◦ f = i. Esto implica que j : im ϕ −→ G es sobreyectiva (En efecto: Si z ∈ G entonces existe f (z) en im ϕ tal que j(f (z)) = i(z) = z). Por lo tanto, im ϕ = G. 3

Notaci´n: Si el par (G, ϕ) es un producto tensorial para E y F , escribimos o G como E ⊗ F y ϕ(x, y) como x⊗ y. Luego, la bilinealidad se expresa en la siguiente forma: (λx1 + x2 ) ⊗ y = λx1 ⊗ y + x2 ⊗ y x ⊗ (λy1 + y2 ) = λx ⊗ y1 + x ⊗ y2 Ejemplos 1) Sea E u e.v. sobre R y se define una transformaci´n bilineal ⊗ : R×E −→ o E como λ ⊗ x = λx. Entonces el par (E, ⊗) es un producto tensorial de R y E. En efecto: Veamos ⊗1 : ⊗(R ⊗ E) = R · E = E, luego, es claro que im ⊗ = E. Veamos ⊗2 : Sea ψ : R × E −→ Hbilineal y definamos f : E −→ H como f (x) := ψ(1, x) y tal que R × E −→ H
⊗ ψ

; x1 , x2 ∈ E, y ∈ F

; x ∈ E, y1 , y2 ∈ F, λ ∈ R ´ C. o

↓
f

.

E f ◦ ⊗ = ψ. Esto prueba ⊗2 .

Entonces f (λ ⊗ x) = f (λx) = ψ(1, λx) = λψ(1, x) = ψ(λ, x); esto es, Concluimos que el par (E, ⊗) es un producto tensorial de R y E. Esto es: R ⊗ E = E. En particular Γ ⊗ Γ = Γ con λ ⊗ µ = µ. 2) Sea β : Rn ×...