Producto Vectorial

Multiplicación de vectores.Lo mismo que las cantidades escalares, se puede multiplicar vectores de
diferente naturaleza para obtener cantidades de nuevas dimensiones Físicas.
Producto Vectorial de dos vectores.El segundo tipo de multiplicación se denomina producto vectorial porque el
resultado de la operación es un vector. Si se tiene dos vectores a y b como
se muestra en la figura el productovectorial se define:

c

a
0

ab  c



b

En donde
a) La magnitud de c es: c  absen
b) La dirección de c es perpendicular al plano que contiene a a y b
c) El sentido de c corresponde a la regla del tornillo de rosca derecha.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL

 
a  b  c   a  b  a  c 

1.  a  b   b  a 

no conmutativa

2. 

distributiva

3.  Para los vectores unitarios :
ii j  j  k  k  0
i j  k

jk  i

j  i  k

k i  j

k  j  i

ik   j

4.  a  a  0
i

j

k

5.  a  b  a x

ay

az

bx

by

bz

Área de un paralelogramo (APLICACIÓN).En la figura se representan los vectores A , B su producto vectorial A B . El
paralelogramo que se forma tiene como lados A y B, siendo h su altura
respecto al lado A. El área del paralelogramo es: Área  A x h

B

AB

h


A

En la figura se tiene que:
h  Bsen
pero
A  B  ABsen   Ah
A  B  área del parale log ramo

El área del paralelogramo formado por dos vectores es igual al modulo del
producto vectorial de dichos vectores.

EJERCICIOS RESUELTOS
Problema 1 Dados los vectores
a  3i  j  2k

y b  5i  j  4k , determinar su producto vectorial

Solución.i

j

ab  3

1

k
 2  i(4  2)  j (12 10)  k (3  5)

5 1

4

a  b  2i  22 j  8k

Problema 2 Si P  Q  20 y P  3, Q  10. Hallar P  Q
Solución.Tomando la siguiente identidad
2

2

A  B  A  B  A2 B 2

202 


2

A  B  3210 2

A  B  10 5

Problema 3 Hallar un vector unitario paralelo al plano XY y que es
perpendicular al vector A  2i  j  k
Solución.Un vector unitario paralelo al plano XY es de la forma:
  x i  y j

por la condiciones de perpendicularidad
A   0

2i  j  k   i   j   0
x

2 x   y  0

y

1)

por ser unitario    x2   y2  1

 x2   y2  1
resolviendo 1) y 2) tenemos:

2)

5
,
5

x  

y  

2 5
5

luego el vector pedido es:


5
2 5
i
j
5
5

5
2 5
i
j
5
5



ó

Problema 4 Desde el origen de coordenadas se traza el vector
A  3i  2 j  k . Hallar ladistancia del punto P 2;1; 2  al vector.
Solución.- En la figura se representa el vector A , r es el vector de posición
del punto P 2;1; 2  , d es la distancia de A .
z
P 2;1; 2 

r


0

d

A
y

x

Entonces r  2i  j  2k
pero A  r  Arsen 
de la figura d  Arsen
luego: A  r  Ad
d

A r
1)

A

i
A r  3

j k
2 1  3i  8 j  k

2 1 2
A  r  122

el módulo de A es A  14 . Luegoreemplazando en 1) tenemos

d

122
 2.95 u
14

Problema 5 Dados los vectores A  4i  3 j  k ; B  2i  6 j  3k Hallar:
a) El área del paralelogramo de lados A y B
b) El ángulo entre A y B
c) El vector C de 7 unidades, perpendicular a A y a B
d) Los cosenos directores de A  B
Solución.a) Hallar está dada por:
área  A  B

i

j

k

2 6

3

A B  4

3  1  9  6i  12  2 j  24  6kA  B  15 i  10 j  30k
área  A  B  152   10   30 2  35
2

área  35u 2

b) El ángulo entre A y B se puede encontrar de dos maneras:
De la definición del producto escalar: A  B  AB cos
A B
 8  18  3

 0.196
AB
16  9  1 4  36  9
  ar cos 0.196   78.69 º
cos 

De la definición del producto vectorial: A  B  ABsen 
A B

35
 0.98058
AB
16  9  1 4  36  9
  arsen0.98058   78.69 º
sen 



c) El vector unitario perpendicular a A y a B es ˆ 
ˆ 

15 i  10 j  30 k 3 2
6
 i j k
35
7 7
7

A B
A B

C  Cˆ  7 ˆ  3i  2 j  6k





d) A  B  4i  3 j  k   2i  6 j  3k



A  B  2i  9 j  2k
A  B  4  81  4  89
cos 

2
89

 0.212; cos  

9
89

2

 0.954; cos  

 0.212

89

Problema 6 Obtenga los productos...