Productos no tradicionales. enfoque econometrico

INTRODUCCIÓN

El objetivo de este trabajo es el estudio del análisis Cualitativo y estabilidad de las soluciones de las EDOs, para ello en el desarrollo del trabajo presentaré, las diferentes teorías que permiten dicho estudio y la importancia para los economistas de ésta herramienta matemática: Las Ecuaciones diferenciales.
Las ecuaciones diferenciales son una parte muy importante delanálisis matemático y modelan innumerables procesos de la vida real. Una ecuación diferencial es una relación, válida en cierto intervalo, entre una variable y sus derivadas sucesivas. Su resolución permite estudiar las características de los sistemas que modelan y una misma ecuación puede describir procesos correspondientes a diversas disciplinas.
La gran mayoría de las ecuaciones diferenciales nopuede ser resuelta satisfactoriamente en forma exacta. Por otra parte, la implementación de técnicas numéricas eficientes requiere previamente el estudio cualitativo de las soluciones. Asimismo, los métodos numéricos, si bien son eficaces para aportar una solución aproximada de algún problema específico, no resultan adecuados para la discusión global del conjunto de todas las soluciones. Basadaespecialmente en las ideas de Poincaré y Lyapunov se desarrolló la llamada teoría cualitativa, que consiste en estudiar las propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial sin resolverla. Este método permite obtener gran cantidad de información acerca de las soluciones, aún sin conocerlas.

HISTORIA Y JUSTIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Presentare una pequeña historia de las EDOSya que nos permitirá comprender el porqué de la introducción de nuevas teorías y sobre todo una breve definición de éstas.
Las ecuaciones diferenciales se originan en el estudio de problemas dinámicos. En este sentido Arquímedes puede considerarse un precursor por su formulación de los principios de la palanca, de la polea y del empuje que recibe un cuerpo sumergido en un líquido y tambiénCopérnico, a través de su teoría acerca del movimiento de la Tierra y otros planetas en órbitas circulares alrededor del Sol. De acuerdo con Haaser, el estudio de las ecuaciones diferenciales comenzó con Newton y Leibniz a fines del siglo XXVII. En esta época los problemas se abordaban de manera geométrica. Para Leibniz el cálculo trataba de sucesiones de valores infinitamente próximos, concibiendo elcontinuo geométrico como un conjunto de segmentos infinitesimales, en tanto que para Newton involucraba cantidades que variaban con el tiempo.
Durante el siglo XVIII el trabajo consistía en resolver ecuaciones particulares específicas. Estos primeros descubrimientos sugirieron que las soluciones de todas las ecuaciones diferenciales originadas en problemas geométricos y físicos podrían expresarsepor medio de funciones elementales. Hasta la llegada de Liouville los matemáticos no dejaron de buscar un método de resolución que fuera aplicable a todo tipo de ecuaciones diferenciales. A lo largo de buena parte del siglo XIX los trabajos se orientaron hacia la búsqueda de soluciones en serie y hacia la cuestión de la existencia y unicidad de las soluciones. Se desarrollan paralelamente losmétodos numéricos para la resolución aproximada, con el antecedente del método de Euler. Si bien los primeros métodos numéricos datan de fines del siglo XIX, el desarrollo del análisis numérico sólo fue posible a partir de 1950, con la aparición de las primeras computadoras, que permitieron la puesta a prueba de los algoritmos construidos. A fines del siglo XIX el desarrollo de la mecánica no linealpuso de manifiesto la necesidad de contar con métodos de tratamiento de las ecuaciones diferenciales no lineales. En 1892 se publicaron sendos trabajos relativos a la mecánica no lineal, el primero de Liapunov, traducido del ruso al francés en 1907 como “Problema general de la stabilité du mouvement” y el primer volumen de “Les méthods nouvelles de la mécanique céleste”, de Poincaré, y...