Productos Notables Matematicas
Páginas: 7 (1597 palabras)
Publicado: 25 de septiembre de 2012
LOS PRODUCTOS NOTABLES
Los productos notables son ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede escribirse por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.
Las letras representan números reales, razón por la cual se pueden aplicar las propiedades operatorias de los números reales para verificar la validez de cada fórmula.
Los símbolos que aparecen en lasfórmulas, por ejemplo x ó a representan números reales, las cuales pueden sustituirse por expresiones algebraicas en general.
CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES
Elevar al cuadrado a + b equivale a multiplicar este binomio por sí mismo:
( a + b )2 = (a + b )(a + b )
Al desarrollar este producto tenemos:
a + b
a 2 + ab
a 2 + 2ab + b 2 o sea (a + b )2 = a 2 + 2ab +b 2
Por tanto, el cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el duplo de la primera por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
Ejemplos
1) Desarrollar (x + 4)2
Cuadrado del primero x 2
Duplo del primero por el segundo 2x × 4 = 8x
Cuadrado del segundo 16
Por tanto:
(x + 4)2 = x 2 + 8x + 16
Realiza estas operacionesmentalmente y escribe el producto de manera directa.
Cuadrado de un monomio. Se eleva su coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.
Siendo el monomio 4ab 2 decimos que:
(4ab 2)2 = 42a 1 × 2b 2 × 2 = 16a 2b 4
En efecto:
(4ab 2)2 = 4ab 2 × 4ab 2 = 16a 2b 4
Del mismo modo:
(5x 3y 4z 5)2 = 25x 6y 8z 10
2) Desarrollar (4a + 5b 2)2
Cuadrado del primero(4a )2 = 16a 2
Duplo del primero por el segundo
2 × 4a × 5b 2 = 40ab 2
Cuadrado del segundo
(5b 2)2 = 25b 4
Luego
(4a + 5b 2)2 = 16a 2 + 40ab 2 + 25b 4
Las operaciones detalladas para mayor facilidad, no deben escribirse sino verificarse mentalmente.
3) Desarrollar (3a 2 + 5x 3)2
(3a 2 + 5x 3)2 = 9a 4 + 30a 2x 3 + 25x 6
4) Efectuar (7ax 4 + 9y 5)(7ax 4 + 9y 5)
(7ax 4 + 9y5) + (7ax 4 + 9y 5) = (7ax 4 + 9y 5)2 =
49a 2x 8 + 126ax 4y 5 + 81y 10
Notas:
- Cuando una literal no tiene otra con que multiplicarse, sólo se copia.
- Todo número o literal multiplicado por sí mismo, es igual a su cuadrado.
- En la potencia de una potencia, se copia la base y se multiplican los exponentes.
EJERCICIOS
Por simple inspección, escribe el resultado de:
1. (m + 3)2R. m 2 + 6 m + 9
2. (x + y)2 R. x 2 +2 x y +y 2
3. (5 + x)2 R. 25 + 10 x + x 2
4. (1 + 3x)2 R. 1 + 6 x 2 + 9 x 4
5. (6a + b)2 R. 36 a 2 + 12 a b + b 2
6. (2x + 3y)2 R. 4 x 2 +12 x y + 9 y 2
7. (9 + 4m)2 R. 81 + 72 m +16 m 2
8. (a 2x + by2)2 R. a 4 x 2 + 2 a 2 b x y 2 + b 2 y 4
9. (7x + 11)2 R. 49 x 2 + 154 x +121
10. (3a 3 + 8b 4)2 R. 9 a 6 + 48 a 3 b 4 + 64 b 8GRÁFICAS DE UNA SUMA DE CUADRADOS
El cuadrado de la suma de dos cantidades puede representarse geométricamente cuando los valores son positivos, de la siguiente manera:
Siendo (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2
Construimos un cuadrado de a unidades de lado, es decir, de lado a :
Construimos dos rectángulos de largo a y ancho b :
ab
ab
b b
a a
a a
Al unir estas cuatro figurastal como lo muestra la figura 16, formaremos un cuadrado de (a + b ) unidades de lado cuya área es (a + b )(a + b ) = (a + b )2, que como puede verse en la figura 16, está formada por un cuadrado de área a 2, un cuadrado de área b 2 y dos rectángulos de área ab cada uno, o sea 2ab ). Entonces:
(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2
a
b
CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES
Elevar(a -b) al cuadrado equivale a multiplicar esta diferencia por sí misma:
(a -b)2 = (a -b )(a -b )
Al desarrollar este producto tendremos:
a -b
a - b
a 2 -ab
-a b – b 2
a 2 -2ab + b 2
o sea (a -b )2 = a 2 -2ab + b 2
por tanto, el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera menos el duplo de la primera por la...
Los productos notables son ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede escribirse por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.
Las letras representan números reales, razón por la cual se pueden aplicar las propiedades operatorias de los números reales para verificar la validez de cada fórmula.
Los símbolos que aparecen en lasfórmulas, por ejemplo x ó a representan números reales, las cuales pueden sustituirse por expresiones algebraicas en general.
CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES
Elevar al cuadrado a + b equivale a multiplicar este binomio por sí mismo:
( a + b )2 = (a + b )(a + b )
Al desarrollar este producto tenemos:
a + b
a 2 + ab
a 2 + 2ab + b 2 o sea (a + b )2 = a 2 + 2ab +b 2
Por tanto, el cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el duplo de la primera por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
Ejemplos
1) Desarrollar (x + 4)2
Cuadrado del primero x 2
Duplo del primero por el segundo 2x × 4 = 8x
Cuadrado del segundo 16
Por tanto:
(x + 4)2 = x 2 + 8x + 16
Realiza estas operacionesmentalmente y escribe el producto de manera directa.
Cuadrado de un monomio. Se eleva su coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.
Siendo el monomio 4ab 2 decimos que:
(4ab 2)2 = 42a 1 × 2b 2 × 2 = 16a 2b 4
En efecto:
(4ab 2)2 = 4ab 2 × 4ab 2 = 16a 2b 4
Del mismo modo:
(5x 3y 4z 5)2 = 25x 6y 8z 10
2) Desarrollar (4a + 5b 2)2
Cuadrado del primero(4a )2 = 16a 2
Duplo del primero por el segundo
2 × 4a × 5b 2 = 40ab 2
Cuadrado del segundo
(5b 2)2 = 25b 4
Luego
(4a + 5b 2)2 = 16a 2 + 40ab 2 + 25b 4
Las operaciones detalladas para mayor facilidad, no deben escribirse sino verificarse mentalmente.
3) Desarrollar (3a 2 + 5x 3)2
(3a 2 + 5x 3)2 = 9a 4 + 30a 2x 3 + 25x 6
4) Efectuar (7ax 4 + 9y 5)(7ax 4 + 9y 5)
(7ax 4 + 9y5) + (7ax 4 + 9y 5) = (7ax 4 + 9y 5)2 =
49a 2x 8 + 126ax 4y 5 + 81y 10
Notas:
- Cuando una literal no tiene otra con que multiplicarse, sólo se copia.
- Todo número o literal multiplicado por sí mismo, es igual a su cuadrado.
- En la potencia de una potencia, se copia la base y se multiplican los exponentes.
EJERCICIOS
Por simple inspección, escribe el resultado de:
1. (m + 3)2R. m 2 + 6 m + 9
2. (x + y)2 R. x 2 +2 x y +y 2
3. (5 + x)2 R. 25 + 10 x + x 2
4. (1 + 3x)2 R. 1 + 6 x 2 + 9 x 4
5. (6a + b)2 R. 36 a 2 + 12 a b + b 2
6. (2x + 3y)2 R. 4 x 2 +12 x y + 9 y 2
7. (9 + 4m)2 R. 81 + 72 m +16 m 2
8. (a 2x + by2)2 R. a 4 x 2 + 2 a 2 b x y 2 + b 2 y 4
9. (7x + 11)2 R. 49 x 2 + 154 x +121
10. (3a 3 + 8b 4)2 R. 9 a 6 + 48 a 3 b 4 + 64 b 8GRÁFICAS DE UNA SUMA DE CUADRADOS
El cuadrado de la suma de dos cantidades puede representarse geométricamente cuando los valores son positivos, de la siguiente manera:
Siendo (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2
Construimos un cuadrado de a unidades de lado, es decir, de lado a :
Construimos dos rectángulos de largo a y ancho b :
ab
ab
b b
a a
a a
Al unir estas cuatro figurastal como lo muestra la figura 16, formaremos un cuadrado de (a + b ) unidades de lado cuya área es (a + b )(a + b ) = (a + b )2, que como puede verse en la figura 16, está formada por un cuadrado de área a 2, un cuadrado de área b 2 y dos rectángulos de área ab cada uno, o sea 2ab ). Entonces:
(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2
a
b
CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES
Elevar(a -b) al cuadrado equivale a multiplicar esta diferencia por sí misma:
(a -b)2 = (a -b )(a -b )
Al desarrollar este producto tendremos:
a -b
a - b
a 2 -ab
-a b – b 2
a 2 -2ab + b 2
o sea (a -b )2 = a 2 -2ab + b 2
por tanto, el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera menos el duplo de la primera por la...
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