Productos notables

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN.
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Productos Notables:
Son polinomios que se obtienen de la multiplicación entre dos o más polinomios que poseen

características especiales o expresiones particulares, cumplen ciertas reglas fijas; es decir, el su
resultado puede se escrito por simple inspección sin necesidad de efectuar la multiplicación.
1. Cuadrado de una suma de dos términos ocantidades.

( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Cuadrado de una diferencia de dos términos o cantidades

( a − b ) 2 = a 2 − 2ab + b 2
3. Producto de una suma de dos términos por su diferencia.

( a + b )( a − b ) = a 2 − b 2
4. Producto de dos binomios que tienen un término en común.

( a + m)( a − m ) = a 2 + ( m + n ) a + mn
5. Producto de dos binomios de la forma: ( ax + c )( bx − d )( ax + c )( bx − d ) = abx 2 + ( ad + bc ) x + cd
6. Cubo de un binomio.

( a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
( a − b ) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
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Factorización: es el proceso de encontrar dos o más expresiones cuyo producto sea igual a
una expresión dada; es decir, consiste en transformar a dicho polinomio como el producto de
dos o más factores.

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Factorización porfactor común: se escribe el factor común (F.C.) como un coeficiente de
un paréntesis y dentro del mismo se colocan los coeficientes que son el resultado de dividir
cada término del polinomio por el F.C.

CASO I: Factor común monomio:
1. Descomponer en factores a 2 + 2a
a

2

y 2a contienen el factor común a . Escribimos el factor común a como coeficiente de un

paréntesis dentro del cualescribimos los cocientes obtenidos de dividir a 2 ÷ a = a y 2a ÷ a = 2 y
tendremos:
a 2 + 2a = a (a + 2)
2. Descomponer 10b - 30ab.
Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos el 10 porque siempre
se saca el mayor factor común. De las letras, el único factor común es b, porque está en los
dos términos de la expresión da-da, y la tomamos con su menor exponente b.El factor común es 10b. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis dentro del cual
ponemos los cocientes de dividir 10b ÷ 10b = 1 y - 30ab 2 ÷ 10b = - 3ab , y tendremos:
10b - 3ab 2 = 10b (1 - 3ab )
3. Descomponer 10a 2 - 5a + 15a 3
El factor común es 5a. Tendremos:
10a 2 - 5a + 15a 3 = 5a (2a - 1 + 3a 2)
4. Descomponer:
18mxy 2 - 54m 2x 2y 2 + 36 my 2
El factor común es 18 my 2.Tendremos:
18mxy 2 - 54m 2x 2y 2 + 36my 2 =
18my 2(x - 3mx 2 + 2)
5. Factorar 6x y 3 - 9nx 2y 3 + 12nx 3y 3 - 3n 2x 4y 3
El factor común es 3x y 3. Tendremos:
6x y 3 - 9nx 2y 3 + 12nx 3y 3 + 3n 2x 4y 3 =
3x y 3(2 - 3nx + 4nx 2 - n 2x 3)
Prueba general de los factores
Para hacer la prueba en cualquiera de los diez casos que estudiaremos en este capítulo, basta
multiplicar los factoresobtenidos y su producto debe ser igual a la expresión factorada.

CASO II: Factor común polinomio:
1. Descomponer x (a + b ) + m (a + b )
Estos dos términos tienen como factor común el binomio (a + b ), por lo que ponemos (a + b )
como coeficiente de un paréntesis dentro del cual escribimos los cocientes de dividir los dos
términos de la expresión dada entre el factor común (a + b ), o sea:
x ( a+ b)
m( a + b )
=x y
=m
(a + b)
(a + b)

y tendremos:

x (a + b ) + m (a + b ) = (a + b )(x + m )
2. Descomponer 2x (a - 1) - y (a - 1)
El factor común es (a - 1), por lo que al dividir los dos términos de la expresión dada entre el
factor común (a - 1), con lo que tenemos:

2 x ( a − 1)
-y( a - 1)
= 2x y
= −y
( a − 1)
( a − 1)

Luego tendremos:
2x (a - 1) - y (a - 1) = (a -1)(2x - y )
CASO III: Factor común por agrupación de términos:
Ejemplos
1) Descomponer ax + bx + ay + by
Los dos primeros términos tienen el factor común x y los dos últimos el factor común y .
Agrupamos los dos primeros en un paréntesis y los dos últimos en otro precedido del signo +
porque el tercer término tiene el signo (+) :
ax + bx + ay + by = (ax + bx ) + (ay + by )
= x (a + b )...