Productos notables

“Productos Notables”

*Factor Común.
El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es
(el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca) y (cb).

Ejemplo
*

*xy2 -y2w = y2(x - w)

*x(a + 7) - 5(a + 7) = (a + 7)(x - 5)

*Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio.
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir:

un trinomio de la forma: , se conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que seobtiene es:

En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.

Ejemplo
*

*(2X+3y) ²= 4X ²+12xy+9y ²

*(M+1) ²= m ²+2m+1
Simplificando:

*Producto de dos binomios con un término común

Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los otros, y alresultado se añade el producto de los términos diferentes.

Ejemplo

Agrupando términos:

Luego:

*Producto de dos binomios conjugados
Dos binomios conjugados son aquellos que sólo se diferencien en el signo de la operación. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados

Ejemplo
*

*(5x – 3y)(5x + 3y)= (5x)2(3y)2 =25x2 – 9 y2
*( 7 a2-3b2) (7 a2 +3b2) = ( 7 a2)2- (3b2)2 =49 a4 – 9b2

Agrupando términos:

A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

*Polinomio al cuadrado
Para elevar un polinomio con cualquier cantidad de términos, se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos decada posible par de términos.

Ejemplo

Multiplicando los monomios:

Agrupando términos:

Luego:

*Binomio al cubo o cubo de un binomio
Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.

Identidades deCauchy:

Ejemplo

Agrupando términos:

Cuando la operación del binomio es resta, el resultado es: el cubo del primer término, menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.

Identidades de Cauchy:

Ejemplo
*
*(2X+1) ³=8X³+12x²+6x+1

*(2x²-3y³)³=8x6-36x4y3+5x²y6-27y9Agrupando términos:

“factorización”
Factorizar un polinomio
Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos . Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.
* Binomios
1. Diferencia de cuadrados
2. Suma o diferencia de cubos
3. Suma o diferencia de potencias impares iguales* Trinomios
1. Trinomio cuadrado perfecto
2. Trinomio de la forma x²+bx+c
3. Trinomio de la forma ax²+bx+c
* Polinomios
1. Factor común
Caso I - Factor común
Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy sencilla que dice: Cuadradodel primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será sumamente sencillo resolver los factores comunes.

Factor común monomio
Factor común por agrupación de términos

y si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.
Factor común...