PRODUCTOS NOTABLES

PRODUCTOS NOTABLES
En el estudio de la matemática, continuamente encontramos expresiones que mantienen la misma mecánica, son tan repetitivas que no necesitamos realizar la operación para conocer su respuesta, a este tipo de operaciones se les llama notables, y puede encontrarse su respuesta sin realizar la operación, lo que es lo mismo por simple inspección
Los productos notables son lasmultiplicaciones de tipo notable, en los capítulos presente y siguiente nos centraremos en los binomios potenciados, o sea los binomios elevados a alguna potencia.
CUADRADO DE UN BINOMIO
-Un binomio es una suma o una diferencia de dos números (o expresiones numéricas). Aplicando algunas propiedades básicas de los números, es muy fácil demostrar que:
 
"El cuadrado de la suma es la suma de loscuadrados MÁS el doble del producto"
"El cuadrado de la diferencia es la suma de los cuadrados MENOS el doble del producto"
 
Llamando a esos números "a" y "b", una demostración sería:  (a + b) (a + b) = aa + ab + ba + bb = a2 + 2ab + b2
                                         y la otra demostración sería:  (a - b) (a - b) = aa - ab - ba + bb = a2 - 2ab + b2
 
Observa que la segunda identidadpuede verse como un caso particular de la primera, cuando "b" sea un número negativo:  (a - b)2 =  (a + (-b))2 =  a2 + 2a(-b) + b2 = a2 - 2ab + b2
-Básicamente se escriben así:

Si efectuamos las operaciones nos queda:

Como se puede ver en ambos casos se sigue la misma mecánica y si se sustituye “a” o “b” o ambos por expresiones que incluyan tanto números como letras (25xyz) seguiránexactamente la misma mecánica. Se puede acortar como:



EL CUADRADO DE UN BINOMIO SUMA
Dentro de los productos notables se encuentra el cuadrado de un binomio compuesto por la suma de sus términos, el cual estudiaremos a continuación.
Un binomio es una expresión algebraica compuesta por dos términos. En la siguiente figura se presenta un ejemplo de binomio.


El cuadrado de un binomio es elproducto de multiplicar el binomio por si mismo, en la siguiente figura lo podemos observar.

Para realizar la operación del producto sugerido se procede de la siguiente forma:
1. Se coloca un binomio sobre el otro.


2. Luego se multiplica el segundo termino del binomio inferior por cada uno de los términos del binomio superior.


3. Luego se multiplica el primero de los términos del binomioinferior por cada uno de los términos del binomio superior, desplazándose una casilla a la izquierda.


4. Por ultimo se realiza la suma de los términos.



Esta es la demostración de la regla del cuadrado de un binomio. La cual dice que el cuadrado de binomio es el primer término elevado al cuadrado más dos veces el segundo por el primero mas el segundo termino elevado al cuadrado.El cuadrado de la suma de dos cantidades ( (a + b) ) es igual al cuadrado de la primera (a) más el doble producto de ellas (2ab) más el cuadrado de la segunda (b).

CUADRADO DE UN BINOMIO DIFERENCIA
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades ( (a - b) ) es igual al cuadrado de la primera (a) menos el doble producto de ellas (-2ab) más el cuadrado de la segunda (b).

El cuadrado de ladiferencia de dos números es igual al cuadrado del primer número menos el doble del producto del primer número multiplicado por el segundo, más el cuadrado del segundo número.
Consideremos que .
Tendremos que .
Por tanto
Es decir
 
Ejemplo:
Desarrollar
Solución:
 
Ejemplo:
Desarrollar
Solución:
 
Ejemplo:
Desarrollar
Solución:
 
Ejemplo:
Desarrollar
Solución:

DIFERENCIADE CUADRADOS
 
Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta.
Al estudiar los productos notables teníamos que:

En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este capitulo es el caso contrario:

Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases....