Productos Notables

PRODUCTOS NOTABLES
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas y cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización.Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.
FACTOR COMUN
El resultado de multiplicar un binomio  por un término  se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área del rectángulo es
 (el producto de la base porla altura), que también puede obtenerse como la suma
de las dos áreas coloreadas:  y 
Ejemplo:


CUADRADO DE UN BINOMIO
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:

Un trinomio de la expresión siguiente:  se conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo término esnegativo, la ecuación que se obtiene es:

En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.
Ejemplo:

Simplificando:


PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON TERMINO COMUN
Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, el cuadrado del término común se suma con el producto del término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términosdiferentes.

Ejemplo:

Agrupando términos:

Luego:


PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS
Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.

Ejemplo:


Agrupando términos:

A esteproducto notable también se le conoce como suma por la diferencia.
POLINOMIO AL CUADRADO
Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.


Ejemplo:

Multiplicando los monomios:



Agrupando términos:

Luego:


CUBO DE UN BINOMIO
Para calcularel cubo de un binomio se suman, sucesivamente:
El cubo del primer término con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
El triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
El cubo del segundo término.

Identidades de Cauchy:

Ejemplo:

Agrupando términos:

Si la operación del binomio implica resta, el resultado es:
El cubo del primer término.
Menos el tripleproducto del cuadrado del primero por el segundo.
Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
Menos el cubo del segundo término.

Identidades de Cauchy:

Ejemplo:

Agrupando términos:


FACTORIZACION
En matemáticas, la factorización (o factoreo) es una técnica que consiste la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz,un polinomio, etc) en forma de multiplicación. Existen diferentes métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.
El teorema fundamental de laaritmética cubre la factorización de números enteros, y para la factorización de polinomios, el teorema fundamental del álgebra. La factorización de números enteros muy grandes en producto de factores primos requiere de algoritmos sofisticados, el nivel de complejidad de tales algoritmos está a la base de la fiabilidad de algunos sistemas de criptografía asimétrica como el RSA.
Para entender la...