Productos notables

1.2 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION
1.2.1 Binomio al cuadrado
Cuando un binomio se multiplica por sí mismo se tiene lo que se conoce como un binomio al cuadrado. Después de desarrollar la multiplicación se obtiene un trinomio cuadrado perfecto. Si para un binomio cualquiera consideramos el primer término como a y el segundo término como b, entonces el binomio es a + b y también podemosexpresar el binomio al cuadrado como (a + b) 2. Si desarrollamos la multiplicación se tiene:
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
(a + b)2 = aa + ab + ba + bb
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Esta última expresión es una identidad que se cumple para cualquier binomio al cuadrado y el lado derecho de la igualdad se conoce como trinomio cuadrado perfecto. Usando la identidad se puede obtener el resultado sinnecesidad de realizar la multiplicación. Solo hay que elevar al cuadrado el primer término del binomio, sumarle el doble del producto del primero por el segundo y finalmente sumarle el cuadrado del segundo término.
Ejemplos:

(x + 2y)2 = (x)(x) + 2(x)(2y) + (2y)(2y)
(x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2

(3xy + 5)2 = (3xy)(3xy) + 2(3xy)(5) + (5)(5)
(3xy + 5)2 = 9x2y2 + 30xy + 25
Binomio al cuadrado deresta
La identidad (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 es válida para todos los binomios, pero se puede particularizar más para el caso de que los términos del binomio tengan signos diferentes, en ese caso, al elevar al cuadrado y desarrollar la multiplicación tenemos:
(a - b)2 = (a - b)(a - b)
(a - b)2 = aa + (a)(-b) + (-b)(a) + (-b)(-b)
(a - b)2 = aa - ab - ab + bb
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Loanterior nos indica que cuando los términos del binomio tienen signos opuestos, en el resultado el término del doble producto del primero por el segundo tiene signo negativo.
Ejemplo:

(3x2 - z)2 = (3x2)(3x2) - 2(3x2)(z) + (z)(z)
(3x2 - z)2 = 9x4 - 6x2z + z2

1.2.2 Producto de dos binomios conjugados
Cuando se tiene un producto de dos binomios los cuales tienen los mismos monomios exceptoporque el signo de uno de los monomios es diferente para ambos a ese producto se le conoce como binomios conjugados y tiene la forma:
(a + b)(a - b)
Si desarrollamos el producto tenemos:
(a + b)(a - b) = (a)(a) + (a)(-b) + (b)(a) + (b)(-b)
(a + b)(a - b) = aa - ab + ba - bb
(a + b)(a - b) = a2 - b2
Lo que se obtiene es el primer monomio elevado al cuadrado con signo positivo y el segundomonomio elevado al cuadrado con signo negativo. Esto se conoce como diferencia de cuadrados. Esta identidad se puede usar en cualquier caso en que se tengan binomios conjugados.
Ejemplo:
(2x2 + y)(2x2 - y) = (2x2)2 - (y)2
(2x2 + y)(2x2 - y) = 4x4 - y2
1.2.3 Factor común
Este tipo de factorización se realiza encontrando un factor que sea común a todos los términos del polinomio. Generalmente esefactor común se construye a partir del máximo común divisor de los coeficientes de los términos y con las literales que se encuentran en todos los términos elevadas al menor exponente que tenga esa literal en alguno de los términos. Este tipo de factorización se justifica con la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. Considerando a n como el factor común, lafactorización se realiza de la siguiente forma:
na + nb + nc + ... = n(a + b + c + ...)
Ejemplo. Factorizar el polinomio 6x4y2z - 12x3y3z2 + 9x2y4z3 + 3xy5z4.
Por simple inspección el máximo común divisor de 6, -12, 9 y 3 es 3.
La literal x se encuentra en todos los términos y su menor exponente es 1 en el cuarto término.
La literal y se encuentra en todos los términos y su menor exponente es 2en el primer término.
La literal z se encuentra en todos los términos y su menor exponente es 1 en el primer término.
A partir de las consideraciones anteriores el factor común es 3xy2z. Para encontrar los términos del polinomio factorizado se debe dividir cada término del polinomio oroginal entre el factor común. Finalmente, la factorización queda:
6x4y2z - 12x3y3z2 + 9x2y4z3 + 3xy5z4 =...