Productos notables

Matemática Básica
1. Números Reales

1.1. Construcción histórico - intuitiva


Definición de Conjunto:
Un conjunto es una colección o lista de objetos bien definidos. Los objetos que conforman un conjunto se denominan elementos. Se acostumbra emplear letras mayúsculas para representar conjuntos y letras minúsculas, para los elementos.
Ejemplos:
1. Un conjunto de todos loscanales de TV abierta en la ciudad de Panamá.
2. Un conjunto de los números primos entre 10 y 20.
3. Un conjunto de las letras que forman la palabra Estudiantes.
Si A es un conjunto cualquiera y x es un elemento de dicho conjunto, la notación x є A significa que “x pertenece o es elemento del conjunto A”. Para denotar que x no es elemento de A, se escribe x ( A.
Para describir odefinir un conjunto existen dos formas tabular:
1. Por enumeración, cuando se listan los elementos que constituyen el conjunto entre llaves.
2. Por comprensión, cuando se proporciona la regla que identifica sus elementos entre llaves.
Ejemplo: Describa el conjunto
E = (todos los números naturales que son múltiplos de 3(, por enumeración y por comprensión.
1. Por enumeración: E = (3, 6, 9,12, ... (
2. Por comprensión: E = (x:x = 3n, n є N(

Práctica

A = (a( es el conjunto que consta del solo elemento a.
B = (a, b( es el conjunto que consta de dos elementos a y b.
C = (1, 2, 3, 4( es el conjunto de números naturales menores que 5.
K = (2, 4, 6, ... ( es el conjunto de todos los números naturales pares.
L = (..., -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, ... ( es el conjunto detodos los enteros divisibles por 5.

C = (x: x є N, x < 5(
K = (x: x є N, x es par(
L = (x: x є Z, x es divisible por 5(
• El conjunto vacío es el conjunto que carece de elementos. Se denota como A = Ø.
• Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B si todo elemento de A es un elemento de B. Se denota por A ( B.
Observaciones:1. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.
2. El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto.
• Se dice que el conjunto A es un subconjunto propio de B, si B tiene al menos un elemento más que el conjunto A. Se denota como A ( B.
Ejemplo: Sean A = (1, 2, 3( y B = (1, 2, 3, 4(. Como todos los elementos de A son elementos de B y B tiene un elemento más que A, entonces seestablece que A ( B (“A es subconjunto propio de B”).
• Dos conjuntos A y B son iguales, A = B, si todo elemento de A es elemento de B y todo elemento de B es elemento de A.
Ejemplo: Sean A = (1, 2, 3( y B = (3, 1, 2(, entonces A = B.
• Se le llama conjunto universo a aquel que contiene todos los elementos que interesan en una situación determinada. Se denota usualmente con U.Ejemplo: Si A = (1, 2, 3,4(, B = (4, 6, 8(, C = (5, 7, 9( son los conjuntos que interesan, entonces el conjunto universo es U = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9(

El Conjunto de los Números Naturales

Este conjunto está formado por los siguientes elementos:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... (
y se representa con el símbolo N.
Dicho conjunto es infinito, es decir, que dado un número natural existesiempre un número natural mayor que él.
[pic]
• Si sumamos o multiplicamos dos números naturales cualesquiera, el resultado siempre es un número natural. Por ejemplo, 8 + 5 = 13 y 8 x 5 = 40; la suma 13 y el producto 40 son números naturales.
• En cambio, si restamos o dividimos dos números naturales, el resultado no siempre es un número natural. Por ejemplo, 8 - 5 = 3 y 8 / 2 = 4 sonnúmeros naturales, pero 5 – 8 y 2 / 7 no son números naturales.
• Así dentro del sistema de números naturales, siempre podemos sumar y multiplicar, pero no siempre podemos restar o dividir.
Con objeto de superar la limitación de la sustracción, extendemos el sistema de los números naturales al sistema de los números enteros.

El Conjunto de los Números Enteros

Este conjunto se...