Productos Notables

Productos Notables
En la multiplicación de expresiones algebraicas, algunas se repiten con mucha frecuencia, de modo que los productos que resultan se repiten constantemente. Es por esta razón que a tales productos se les llama "productos notables".
Dentro de los productos notables, encontramos: a) el binomio cuadrado perfecto, b) cuadrado de la diferencia de dos cantidades, c) diferencia decuadrados (binomios conjugados).
Es una expresión algebraica que consta de un símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o -.

Binomio Cuadrado Perfecto

Los binomios cuadrados perfectos son de la forma:
(a+b)2=(a+b)*(a+b)=a2+2ab+b2.
Realizando la multiplicación de forma algebraica podemos comprobar que el resultado sea correcto

Veamos algunos ejemplos.Ejemplo 1:
Desarrollar (x+4)2
Fórmula: cuadrado del primer término + el doble producto del primero por el segundo + cuadrado del segundo.
Cuadrado del primer término = x2
Doble producto del primero por el segundo =(2x)(4)= 8x
Cuadrado del segundo término = (42)= 16
De esta forma: (x+4)2= x2+8x+16
Ejemplo 2:
Desarrollar (m+3)2
Fórmula: cuadrado del primer término + el doble producto delprimero por el segundo + cuadrado del segundo.
Cuadrado del primer término = m2= m2
Doble producto del primero por el segundo =(2m)(3)= 6m
Cuadrado del segundo término = (32)= 9
De esta forma: (m+3)2=m2+6m+9
Ejemplo 3:
Desarrollar (3a3+8b4)2
Fórmula: cuadrado del primer término + el doble producto del primero por el segundo + cuadrado del segundo.
Cuadrado del primer término = (3a3)2=9a6Doble producto del primero por el segundo =(2*3a3)( 8b4)=(6a3)(8b4)=48a3b4
Cuadrado del segundo término = (8b4)2= 64b8
De esta forma: (3a3+8b4)2=9a6+48a3b4+64b8

Nota: es importante que tenga presentes las leyes de los exponentes que se revisaron en el tema II.
Cuadrado de la diferencia de dos Cantidades

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades son de la forma:
(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-2ab+b2
Realizando la multiplicación de forma algebraica podemos comprobar que el resultado sea correcto

Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 1:
Desarrollar (a-3)2
Fórmula: cuadrado del primer término - el doble producto del primero por el segundo + cuadrado del segundo.
Cuadrado del primer término = a2
Doble producto del primero por el segundo =(2a)(-3)= -6a
Cuadrado del segundo término =(32)= 9
De esta forma: (a-3)2= a2-6a+9
Ejemplo 2:
Desarrollar (2a-3b)2
Fórmula: cuadrado del primer término - el doble producto del primero por el segundo + cuadrado del segundo.
Cuadrado del primer término = 4a2
Doble producto del primero por el segundo =
(2*2a)(-3b)= 4a *-3b=-12ab
Cuadrado del segundo término =(3b)2=9b2
De esta forma: (2a-3b)2= 4a2-12ab+9b2
Ejemplo 3:Desarrollar (x2-1)2
Fórmula: cuadrado del primer término - el doble producto del primero por el segundo + cuadrado del segundo.
Cuadrado del primer término =(x2)2 =x4
Doble producto del primero por el segundo =(2x2)(-1)= -2x2
Cuadrado del segundo término = (-1)2= 1
De esta forma: (x2-1)2= x4-2x2+1

Nota: es importante que tenga presentes las leyes de los exponentes que se revisaron en el tema II.Diferencia de Cuadrados

La diferencia de cuadrados o binomios conjugados son de la forma:
(a+b)(a-b)= a2- b2
Realizando la multiplicación de forma algebraica podemos comprobar que el resultado sea correcto

Este producto de dos binomios es el único caso en que no resulta un trinomio. A los factores que sólo difieren de un signo se les llama "binomios conjugados".
Veamos algunosejemplos.
Ejemplo 1:
Desarrollar (x+y)*(x-y)
Fórmula: cuadrado del minuendo (de la diferencia) - el cuadrado sustraendo.
Cuadrado del minuendo = x2
Cuadrado del sustraendo = y2
De esta forma: (x+y)(x-y)= x2-y2
Ejemplo 2:
Desarrollar (m+n)*(m-n)
Fórmula: cuadrado del minuendo (de la diferencia) - el cuadrado sustraendo.
Cuadrado del minuendo = m2
Cuadrado del sustraendo = n2
De esta...