productos notables

PRODUCTOS NOTABLES
Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (tambiénproductos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.
 A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable).
Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
 
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doblede la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:

 
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)2 
 
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
 
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
 
El cuadradode la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 – 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)2Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados)
 
(a + b) (a – b) = a2 – b2
 
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda
Demostración:

 
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma (a + b) (a –b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla  como a2 – b2

Cubo de una suma
El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, más el triple del cuadrado de la primera cantidad por la segunda cantidad, más el triple de la primera cantidad por la segunda al cuadrado, más el cubo de la segunda cantidad.
Ejemplo:
1. (3x + 4y)3= (3x)3 + 3(3x)2(4y)+ 3(3x)(4y)2 + (4y)3
a) El cubo de la primera cantidad es (3x) (3x) (3x)= 27x3
b) El triple del cuadrado de la primera cantidad por la segundad cantidad 3(3x)2(4y)= 3(9x2)(4y)= (27x2) (4y)= (108x2y).
c) El triple de la primera cantidad por el cuadrado de la segunda cantidad 3(3x) (4y)2= (9x) (4y) (4y)= (36xy) (4y) = (144xy2).
d) El cubo de la segunda cantidad es (4y)3 = 64y3
Entoncestendríamos:
(3x + 4y)3= (3x)3 + 3(3x)2(4y) + 3(3x)(4y)2 + (4y)3= 27x3 + 108x2y + 144xy2 + 64y3

Cubo de Una Resta
Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.

(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3
(2x − 3)3 = (2x)3 − 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32− 33 =
= 8x 3 − 36 x2 + 54 x – 27
Producto de Dos Binomios
Dos binomios con un término en común serían ( 8x +3) (8x – 1); el término común es 8x y los términos no comunes son +5 y –2.
El producto de dos binomios con un término en común, es posible realizarlo mediante la multiplicación de polinomios o por medio de la siguiente regla:
a) Primero se saca el cuadrado del término común.
b) Sehace la suma de los términos no comunes y se multiplica por el término común.
c) Se multiplican los términos no comunes, ejemplos:

1.- ( 7x +9) (7x – 14)= 49x^2 -35 x – 126
a) El cuadrado del término común.
(7x)2= (7x) (7x) = 49x^2
b) La suma de los términos no comunes por el término común.
(9-14) (7x) = (-5) (7x) = -35x
c) Se multiplican los términos no comunes.
(9) (-14) = -126
2.-...