Productos notables
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Publicado: 10 de septiembre de 2012
CAPITULO 3 PRODUCTOS NOTABLES
3.1 Binomio al cuadrado
►La suma de dos términos (binomio) al cuadrado, es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2
El desarrollo de un binomio al cuadrado se llama trinomio cuadrado perfecto.Ejemplos:
1) (x + 5)2 = x2 + 2 · x · 5 + 52 = x2 + 10 x + 25
2) (x + 3)2 = x2 + 2 · x · 3 + 32 = x2 +6 x + 9
3) (x + y)2 = x2 + 2 · x · y + y2 = x2 +2 x y + y2
4) (u +2v)2 = u2 + 2 · u · 2v + (2v)2 = u2 +4uv + 4v2
5) (4x + 3y)2 = (4 x)2+ 2 · 4x· 3y + (3y)2 = 16x2 +24 x y + 9y2
Ejercicios de Tarea:
|1) (2x + 3y)2 |6)(a2 + 1/2b2)2 |
|2) (x +2y)2 |7) (x +1/2y)2 |
|3) (3x + 4y)2 |8) (3a + 2b)2 |
|4) (x2 + y 2)2 |9) (2u + v /2) 2|
|5) (5a + 4b)2 |10) (u2 + 4v)2 |
►La resta de dos términos (binomio) al cuadrado, es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.
(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2
El desarrollo de un binomio al cuadradose llama trinomio cuadrado perfecto.
Ejemplos: 1) (x − 2)2 = x2 + 2·x·(−2) + 22 = x2 − 4 x + 4
2) (4x − 3)2 = (4x)2 + 2·4x·(−3) + (−3)2 = 16x2 − 24 x + 9
3) (2u− 6)2 = (2u)2 + 2·2u·(−6) + (−6)2 = 4u2 − 24u + 36
4) (4x − 3)2 = (4x)2 + 2·4x·(−3) + (−3)2 = 16x2 − 24 x + 9
5) (x2 − 3x)2 = (x2)2 + 2·x2·(−3x) + (−3x)2 = x4 − x3 + 9x2
6) (x − y)2 = x2 + 2·x·(−y) + (−y)2 = x2 − 2xy +y2
Ejercicios de Tarea:
|1) (3a − 2b)2 |6) (u2 − v2)2 |
|2) (x −1/2y)2 |7) (a2 − 1/2b2)2 |
|3) (1/2x2 −1/2 y2)2 |8) (−2u + v /2) 2 |
|4)(x − 3) (x + 3) |9) (−3a + 2b)2 |
|5) (x +y) (x − y) |10) (2u2 − v1/2 )2 |
3.2 Polinomio al cuadrado
►El cuadrado de un polinomio, es igual a la suma de los cuadrados de sus términos y el doble producto de lascombinaciones binarias que con ellos pueda formarse.
(a + b −2c)2 = a2 + b2+ 4c2 +2ab− 4ac−4bc (1)
o bien de otra manera
((a + b) −2c)2 = (a + b)2 + 2(a + b)( −2c) + (−2c) 2 (2)
= a2 + b2 + 2ab − 4ac − 4bc + 4c2
Ejemplos: 1) (x − 2 + y)2 = x2 +( −2)2 +y2+ 2·x·(−2) + 2xy +2(−2)y= x2 + 4 + y2 − 4x + 2xy − 4y
2) (4x +y − 3)2 = (4x)2 + y2 + (−3)2 + 2·4x·y+2(4x )(−3) +2·y·(−3)
=16x2 + y2 + 9 + 8xy − 24x − 6y
3) (2u+v + 1)2 = (2u)2 + v2 + (1)2+ 2 ·2u·v +2 ·2u·1+2· v·1
= 4u2 + v2 + 1 + 4u·v + 4u + 2v
4) (4x − 3 − y)2 = (4x)2 +(−3)2 +(−y)2 + 2·4x·(−3)+2·4x·y +2(−3)y
=16x2 + 9 + y2 − 24x + 8xy − 6y
5) (x2 − 3x+ 4)2 = (x2)2 +(−3x)2 +42 +2·x2·(−3x) +2(x2 )·4 + 2(−3x)4
= x4 + 9x2 +16 − 6x3 + 8x2 − 24x
Ejercicios de Tarea:
|1) (u − v + 1/2)2 |6) (u2 −1+ v2)2 |...
3.1 Binomio al cuadrado
►La suma de dos términos (binomio) al cuadrado, es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2
El desarrollo de un binomio al cuadrado se llama trinomio cuadrado perfecto.Ejemplos:
1) (x + 5)2 = x2 + 2 · x · 5 + 52 = x2 + 10 x + 25
2) (x + 3)2 = x2 + 2 · x · 3 + 32 = x2 +6 x + 9
3) (x + y)2 = x2 + 2 · x · y + y2 = x2 +2 x y + y2
4) (u +2v)2 = u2 + 2 · u · 2v + (2v)2 = u2 +4uv + 4v2
5) (4x + 3y)2 = (4 x)2+ 2 · 4x· 3y + (3y)2 = 16x2 +24 x y + 9y2
Ejercicios de Tarea:
|1) (2x + 3y)2 |6)(a2 + 1/2b2)2 |
|2) (x +2y)2 |7) (x +1/2y)2 |
|3) (3x + 4y)2 |8) (3a + 2b)2 |
|4) (x2 + y 2)2 |9) (2u + v /2) 2|
|5) (5a + 4b)2 |10) (u2 + 4v)2 |
►La resta de dos términos (binomio) al cuadrado, es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.
(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2
El desarrollo de un binomio al cuadradose llama trinomio cuadrado perfecto.
Ejemplos: 1) (x − 2)2 = x2 + 2·x·(−2) + 22 = x2 − 4 x + 4
2) (4x − 3)2 = (4x)2 + 2·4x·(−3) + (−3)2 = 16x2 − 24 x + 9
3) (2u− 6)2 = (2u)2 + 2·2u·(−6) + (−6)2 = 4u2 − 24u + 36
4) (4x − 3)2 = (4x)2 + 2·4x·(−3) + (−3)2 = 16x2 − 24 x + 9
5) (x2 − 3x)2 = (x2)2 + 2·x2·(−3x) + (−3x)2 = x4 − x3 + 9x2
6) (x − y)2 = x2 + 2·x·(−y) + (−y)2 = x2 − 2xy +y2
Ejercicios de Tarea:
|1) (3a − 2b)2 |6) (u2 − v2)2 |
|2) (x −1/2y)2 |7) (a2 − 1/2b2)2 |
|3) (1/2x2 −1/2 y2)2 |8) (−2u + v /2) 2 |
|4)(x − 3) (x + 3) |9) (−3a + 2b)2 |
|5) (x +y) (x − y) |10) (2u2 − v1/2 )2 |
3.2 Polinomio al cuadrado
►El cuadrado de un polinomio, es igual a la suma de los cuadrados de sus términos y el doble producto de lascombinaciones binarias que con ellos pueda formarse.
(a + b −2c)2 = a2 + b2+ 4c2 +2ab− 4ac−4bc (1)
o bien de otra manera
((a + b) −2c)2 = (a + b)2 + 2(a + b)( −2c) + (−2c) 2 (2)
= a2 + b2 + 2ab − 4ac − 4bc + 4c2
Ejemplos: 1) (x − 2 + y)2 = x2 +( −2)2 +y2+ 2·x·(−2) + 2xy +2(−2)y= x2 + 4 + y2 − 4x + 2xy − 4y
2) (4x +y − 3)2 = (4x)2 + y2 + (−3)2 + 2·4x·y+2(4x )(−3) +2·y·(−3)
=16x2 + y2 + 9 + 8xy − 24x − 6y
3) (2u+v + 1)2 = (2u)2 + v2 + (1)2+ 2 ·2u·v +2 ·2u·1+2· v·1
= 4u2 + v2 + 1 + 4u·v + 4u + 2v
4) (4x − 3 − y)2 = (4x)2 +(−3)2 +(−y)2 + 2·4x·(−3)+2·4x·y +2(−3)y
=16x2 + 9 + y2 − 24x + 8xy − 6y
5) (x2 − 3x+ 4)2 = (x2)2 +(−3x)2 +42 +2·x2·(−3x) +2(x2 )·4 + 2(−3x)4
= x4 + 9x2 +16 − 6x3 + 8x2 − 24x
Ejercicios de Tarea:
|1) (u − v + 1/2)2 |6) (u2 −1+ v2)2 |...
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