productos notables

Productos notables
 
Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables(también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.
 A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable).
Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
 
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadradode la primera cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:

 
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)2
Nota:
Se recomienda volver al tema factorización parareforzar su comprensión.
 
Ver: PSU; Matemática
Pregunta 12_2005
 
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
 
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
 
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:

 
Entonces, para entender delo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 – 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)2
 
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados)
 
(a + b) (a – b) = a2 – b2
 
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primeracantidad, menos el cuadrado de la segunda
Demostración:

 
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como a2 – b2
 
Ver: PSU: Matematica,
Pregunta 15_2010
Pregunta 19_2010
Pregunta 09_2006
 
Otros casos de productos notable (o especiales):Producto de dos binomios con un término común, de la forma
 
x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)
Demostración:

Veamos un ejemplo explicativo:
Tenemos la expresión algebraica
x2 + 9 x + 14
obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 )
¿Cómo llegamos a la expresión?
a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x2
b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es (2 +7)x = 9x
c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14

Así, tenemos:
x2 + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 + (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x + b)
 
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
 
x2 + (a –b)x – ab = (x + a) (x – b)
Demostración:

 
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 + (a – b)x – ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x – b).
 
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
 
x2 – (a + b)x + ab = (x – a) (x – b)
Demostración:

Entonces, paraentender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 – (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x – a) (x – b).
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
 
mnx2 + ab + (mb + na)x = (mx + a) (nx + b)
 
En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en cada binomio (mx y nx).
 ...