Productos Notables

(1887 - 1920)


Nació al sur de la India, en una familia muy pobre, pero de casta muy alta, tan pobre era que no podía comprar papel, inventaba sus matemáticas escribiendo con tiza en una pizarra.
A los siete años asistió a una Escuela Pública gracias a una beca. Recitaba a sus compañeros de clase formulas matemáticas y cifras de . A los 12 años dominaba la trigonometría, y a los 15 leprestaron un libro con 6 000 teoremas conocidos, sin demostraciones. Esa fue su formación matemática básica. En 1903 y 1907 suspendió los exámenes universitarios porque sólo se dedicaba a sus “diversiones” matemáticas. En 1912 fue animado a comunicar sus resultados a tres distinguidos matemáticos. Dos de ellos no le respondieron, pero sí lo hizo G. H. Hardy, de Cambridge, tenido por el más eminentematemático británico de la época. Hardy estuvo a punto de tirar la carta, pero la noche que la recibió se sentó con su amigo John E. Littlewood a descifrar la lista de 120 fórmulas y teoremas de Ramanujan. Horas más tarde creían estar ante la obra de un genio. Hardy tenía su propia escala de valores para el genio matemático: 100 para Ramanujan, 80 para David Hilbert, 30 para Littlewood y 25 parasí mismo. Algunas de las fórmulas de Ramanujan le desbordaron, pero escribió “…forzoso es que fueran verdaderas, porque de no serlo, nadie habría tenido la imaginación necesaria para inventarlas”. Invitado por Hardy, Ramanujan partió para Inglaterra en 1914 y comenzaron a trabajar juntos. En 1917 Ramanujan fue admitido en la Royal Society de Londres y en el Trinity Collage, siendo el primer indioque lograba tal honor. De salud muy débil, moría tres años después.
Lo principal de los trabajos de Ramanujan está en sus Cuadernos, escritos por él en nomenclatura y notación particular, con ausencia de demostraciones, lo que ha provocado una hercúlea tarea de desciframiento y reconstrucción, aún no concluida. Fascinado por el número , desarrolló potentes algoritmos para calcularlo.
Una hazañanumérica de Ramanujan fue el haber conjeturado que el número , compuesto por 3 irracionales, era un número entero. En 1974, en las computadoras de la Universidad de Arizona (E.U.A.), se comprobó que, efectivamente, era el número 262 537 412 640 768 744.
Ramanujan hacía cómputos mentales con una facilidad extraordinaria, en una de sus libretas, encontrada en 1976, aparecen miles de fórmulasmatemáticas entre las cuales figura la siguiente:

Una vez, Ramanujan estaba muy enfermo en un hospital de Londres; Hardy lo fue a visitar y dijo al llegar:
- Vine en el taxi 1729, el número me pareció muy banal y espero que no sea de mal agüero.
- Al contrario –replicó Ramanujan- el número no es nada banal, es un número muy interesante. Es el menor número que se puede expresar como suma dedos cubos en dos formas distintas.
1729 = 13 + 123 = 93 + 103
Observa que:
1729 = 13 + 123 = (1 + 12) (12 + 1 . 12 + 122) ----------- Suma de Cubos
¿Ramanujan habrá conocido este producto notable?








1. BINOMIO AL CUBO
Cuando es una suma:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

o en forma abreviada:
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

Si es una resta:
(a - b)3 = a3 – 3a2b +3ab2 – b3

Lo cual también se puede escribir en forma abreviada:
(a - b)3 = a3 – b3 – 3ab(a - b)


Ejemplo:
 (x + 1)3 = x3 + 3x2(1) + 3x(1)2 + 13  (x - 2)3 = x3 – 3x2(2) + 3x(2)2 - 23
= x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 – 6x2 + 12x - 8

o en forma abreviada: o en forma abreviada:
(x + 1)3 = x3 + 13 + 3x(1) (x + 1) (x - 2)3 = x3 – 23 – 3x(2)(x - 2)
= x3 + 1 + 3x (x + 1) = x3 – 8 – 6x(x - 2)

(x + 2m)3 = x3 + 3x2(2m) + 3x(2m)2 + (2m)3
= x3 + 6mx2 + 3x(4m2) + 8m3
= x3 + 6mx2 + 12m2x + 8m3

o en forma breve:
(x + 2m)3 = x3 + (2m)3 + 3x(2m) (x + 2m)
= x3 + 8m3 + 6mx(x + 2m)










Ahora tu!
 (x + 3)3 =



¿Cómo escribirías en forma breve?
(x + 3)3 =



 (x - 4)3 =  (x – 2m)3 =


Ahora en forma breve: ¿Y en forma breve?
(x - 4)3 = (x – 2m)3 =...