Productos Notables

Producto notable
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simpleinspección, sin verificar la multiplicación. Su aplicación simplifica multiplicaciones habituales.y sistematiza la resolución de muchas
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Porejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.
Cuadrado de un Binomio
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir,multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:
(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \,
Demostración
La expresión siguiente: a^2 + 2 a b + b^2\; se conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo término es negativo, la igualdad que se obtiene es:
(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 \,
Demostración
Ejemplo:
(2x - 3y)^2 = (2x)^2 -2(2x)(3y) + (3y)^2 \,
Simplificando:
(2x - 3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 \,
Productos de dos Binomio con un término común.
Para efectuar un producto de dos binomios con término común se tiene queidentificar el término común, en este caso x, luego se aplica la fórmula siguiente:
(x+a)(x+b) = x^2+( a + b )x + a b \,
Demostración
Ejemplo:
(x+4)(x-7) = x^2 -3x -28 \,
(2y-1)(2y-3) = (2y)^2+(-1-3)(2y)+ ((-1)(-3)) = 4y^2 -8 y +3
Producto de dos Binomio Conjugados
Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios alcuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.
(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \,
Ejemplo:
(3x+5y)(3x-5y) = \,
(3x)(3x) +(3x)(-5y) + (5y)(3x) + (5y)(-5y) \,
Agrupando términos:
(3x+5y)(3x-5y) = 9x^2 - 25y^2 \,
A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.
En el caso (p-a+b+c) = (p-a-b-c)...