Productos Notables

PRODUCTOS NOTABLES

1. DEFINICIÓN:
Son los resultados de la multiplicación que se obtienen de polinomios, que tienen características especiales y necesidad de realizar la multiplicación.

2. PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES:

a) Binomio al Cuadrado:

a) (a b)2 = a2 2ab + b2
Nota: (a - b) 2 = (b - a) 2

Corolario :"Identidades de Legendre"

c) (a + b)2+ (a-b)2 = 2(a2+b2)

d) (a + b)2 - (a-b)2 = 4ab

b) Diferencia de Cuadrados:

a) (a + b)(a - b) = a2 - b2

c) Trinomio al Cuadrado:

a) (a + b + c)2 = a2+ b2+ c2+ 2ab +2bc+ 2ca

d) Binomio al Cubo:

a) (a + b)3 = a3+ 3a2b+ 3ab2+ b3 = a3+ b3+ 3ab(a + b)

b) (a - b)3 = a3-3a2b + 3ab2 - b3 = a3- b3-3ab(a - b)

e) Suma y Diferencia de Cubos:

a) (a + b)(a2 - ab +b2) = a3 + b3

b) (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3

f) Trinomio al Cubo:

a) (a+b+c) 3 = a3+b3+c3+3a2(b+c)+3b2(c+a)+ 3c2(a+b)+6abc
También:

b) (a + b + c) 3 = a3+b3+c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)

c) (a + b + c) 3 = 3(a+b+c) (a2+b2+c2) - 2(a3+b3+c3) + 6abc

c) (a + b + c) 3 = a3+b3+c3 + 3(a + b + c) (ab + bc + ca) - 3abc

g) Producto de Binomios con un Término Común:

a) (x+a)(x + b) = x2 + (a +b)x + ab (Identidad de Stevin)

b) (x+a)(x+b)(x+c) = x3+ (a + b + c)x2 +(ab + bc + ca)x + abc

h) Identidad Trinómica (Argand):

a) (x2n+xnym+y2m) . (x2n-xnym+y2m) = x4n+x2ny2m+y4m

Casos Particulares:
b) (x2+xy+y2)(x2-xy+y2) = x4+x2y2+y4

c) (x2+x+1)(x2-x+1) = x4+x2+1

i) Identidad de Lagrange:

a) (a2+b2)(x2+y2) = (ax+by) 2+(ay-bx) 2

b)(a2+b2+c2)(x2+y2+z2) = (ax + by + cz)2 +(ay - bx) 2 +(bz - cy) 2 +(cx - az) 2

j) Identidades Adicionales:

a) ½ (a+b+c) [(a –b)2 + (a-c)2 + (b-c)2] = a3 + b3 + c3 – 3abc (Ident. Gauss)

b) a3+b3+c3-3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) (Ident. Gauss)

c) a2+b2+c2-ab-ac-bc = 1/2{(a-b) 2 +(b-c) 2 + (c-a) 2}

d) (a + b)(b + c)(c + a) + abc = (a + b + c) (ab + bc +ca)

k)Igualdades Condicionales:
Si:
a + b + c = 0,
entonces se cumplen:

a) a3 + b3 + c3 = 3abc

b) a2+ b2 + c2 = -2(ab + bc + ca)

c) (ab) 2+(bc) 2+(ca) 2 = (ab + bc + ca) 2

d) (a4 + b4 + c4) = (a2 + b2 + c2)2

e) a2+b2+c2 .a3+b3+c3 =a5+b5+c5
2 3 5

f) a2+b2+c2 . a5+b5+c5 = a7+b7+c7
2 57

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Si : a + b = 2 ; ab = 3

Determina : a3 + b3
Solución :
a + b = 2
ab = 3 a3 + b3 =?
Elevando al cubo :
(a + b)3 = 23
a3 + b3 + 3ab (a +b) = 8
a3 + b3 + 3(3) (2) = 8
a3 + b3 = -10

2) Si : a + 2b + 3c = 7x
Halla:

Solución:

E =

E =

E = 1

3) Efectúa :

E = (x + 1) (x - 1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1) -x16Solución :

Utilizamos diferencias de cuadrados.

(x + 1) (x – 1) = x2 – 1

E = (x2 – 1) (x2 + 1) (x4 + 1) (x8 + 1) - x16
E = (x4 – 1) (x4 + 1) (x8 + 1) - x16
E = (x8 – 1) (x8 + 1) - x16
E = x16 – 1 – x16 = -1
4) Si : x + x -1 =


Calcula : x 5 – x -5

Solución :
(x + x -1)2 = ()2
x2 – 2xx -1 + x –2 = 5
x2 + x -2 = 3

(x1 + x -1)3 = 3
x3 + 3xx -1 (x + x -1) + x -3 =5
x3 + x -3 + 3 = 5
x3 + x -3 = 2
Luego : (x2 + x-2) (x3 + x-3) = (3) (2)
x5 + x-1 + x + x-5 = 6

x5 + x-5 + = 5

5) Calcula :
R = (-1)5
Solución :
Ordenando :

R =
R =
R = (3 - 2 )2 ( - 1)
R = (9 - 2 +8) (-1)
R = (17 - 12 ) ( - 1)
R = 17 - 17 - 12 2 + 12
R = 17 - 17- 24 + 12

R = 29 - 41


6).- Si : a + b =
a b = 3
Halla :a6 + b6

Solución :
(a + b)2 =
a2 + b2 + 2ab = 5
a2 + b2 = -1
(a2 + b2)3 = (-1)3
a6 + b6 + 3(ab)2 (a2 + b2) = -1
a6 + b6 - 27 = -1
a6 + b6 = 26

PROBLEMAS PROPUESTOS

Resuelve:

1).- Si a +b = 3 y ab = 1 ;Halla : a2+b2

a) 5 b) 7 c) 6 d) 9 e) 10

2).- Si: a+b = 2 y ab=3 ;Halla : a3+b3

a) –1 b) 6 c) –8 d) –10 e) 26

3).-...