Productos Notables

Productos notables
Productos notables es el nombre que reciben
multiplicaciones con expresiones algebraicas que
cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede
escribir mediante simple inspección, sin verificar la
multiplicación.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de
factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dosbinomios conjugados, y recíprocamente.

1

Factor común

Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.

con el doble del producto de ellos. Así:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Visualización de la regla de factor común. Forma un gnomon.

La expresión siguiente: a2 + 2ab + b2 se conoce como
trinomio cuadrado perfecto.

El resultado de multiplicar un binomio a + b por un térCuando el segundo término es negativo,la igualdad que
mino c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:
se obtiene es:
c · (a + b) = c · a + c · b

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

En la figura adjunta se observa que área del rectángulo es
c(a + b) , es decir, el producto de la base a + b por la Ejemplo:
altura c , y también puede obtenerse como la suma de las
dos áreas coloreadas: ca y cb
(2x − 3y)2 = (2x)2 − 2(2x)(3y) + (3y)2
Ejemplo:Simplificando:
3(4 + 6) = 12 + 18

2

(2x − 3y)2 = 4x2 − 12xy + 9y 2

Cuadrado de un binomio

3 Producto de binomios con término común

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término
1

2

3.1

5 CUADRADO DE UN POLINOMIO

Dos binomios con un término común
2

Producto de binomios conjugados.

4 Producto de dos binomios conjugadosIlustración gráfica del producto de binomios con un término común.

Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo
de la operación. Para su multiplicación basta elevar los
monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene
una diferencia de cuadrados.

2
2
Para efectuar un producto de dos binomios con término (a + b)(a − b) = a − bcomún se tiene que identificar el término común, en este
Ejemplo:
caso x, luego se aplica la fórmula siguiente:

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

(3x + 5y)(3x − 5y) =
(3x)(3x) + (3x)(−5y) + (5y)(3x) + (5y)(−5y)

Ejemplo:

(x + 4)(x − 7) = x2 − 3x − 28

Agrupando términos:

(3x + 5y)(3x − 5y) = 9x2 − 25y 2

A2este
producto notable también se le conoce como suma
(2y−1)(2y−3) = (2y)2+(−1−3)(2y)+((−1)(−3)) = 4y
−8y+3
por la diferencia.

3.2

Tres binomios con término común

• En el caso (p − a + b + c) = (p − a − b − c) =
(p − a)2 − (b + c)2 ,[1] aparecen polinomios.

Fórmula general:
(x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 +
(ab + ca + cb)x + abc

3.3

Binomios con término común

5 Cuadrado de un polinomio
Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados decada término individual y
luego se añade el doble de la suma de los productos de
cada posible par de términos.

Fórmula general:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)

(a+b+c+d)2 = a2 +b2 +c2 +d2 +2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)
(x+a1 )·· · ··(x+an ) = xn +(a1 +· · ·+an )xn−1 +((a1 a2 +a1 a3 +. . . a1 an )+(a2 a3 +· · ·+a2 an )+· · ·+(an−1 an ))xn−2 +. . . (a1 ·· · ··a
Ejemplo:
n
x + (suma de términosno comunes agrupados de uno en
uno)xn-1 + (suma de términos no comunes agrupados de
dos en dos)xn-2 +… + (producto del número de términos) (3x + 2y − 5z)2 = (3x + 2y − 5z)(3x + 2y − 5z)

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Descomposición volumétrica del binomio al cubo.

• El cubo del segundo término.
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
Identidades de Cauchy:
Elevación de un trinomio al cuadrado de forma gráfica.

(a + b)3 = a3 + b3+ 3ab(a + b)
Ejemplo:

Multiplicando los monomios:

(x + 2y)3 = x3 + 3(x)2 (2y) + 3(x)(2y)2 + (2y)3

(3x + 2y − 5z)2 = 3x · 3x + 3x · 2y + 3x · (−5z)

Agrupando términos:

+2y · 3x + 2y · 2y + 2y · (−5z)
+(−5z) · 3x + (−5z) · 2y + (−5z) · (−5z)

(x + 2y)3 = x3 + 6x2 y + 12xy 2 + 8y 3

Agrupando términos:

Si la operación del binomio implica resta, el resultado es:
• El cubo del primer...