Productos Notables

GUIA DE MATEMÁTICA
PRODUCTOS NOTABLES

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multiplicación de monomios: Se multiplican los números y la letras entre si, aplicando la
propiedad de la multiplicación de potencias de igual base.
Ejemplo: Calcula los siguientes productos:
1) 5 m 2 ⋅ 3 m = 15 m3
−
2 2 4 −3 3 5 1 5 9
2)
m n ⋅ mn = mn
3
4
2

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multiplicación de un monomio por un polinomio: Se multiplica el monomio por cadatérmino del polinomio.
Ejemplo: Calcula los siguientes productos:
_

1) − 3 a b ⋅ (7 a 2 − 5 a b 3 ) = 3ab·( 7a2- 5ab3 ) = − 21 a 3 b + 15 a 2 b 4
15
3
3
5
1 ⎞ 1
⎛ 2
2) x 2 y ⋅ ⎜ xy 3 − x 2 y 3 − xy ⎟ = x 3 y 4 − x 4 y 4 − x 3 y 2
16
8
4
4
2 ⎠ 2
⎝ 3
3

2
multiplicación de dos polinomios: Se multiplica cada término
del primer polinomio por cacada uno de los términos del otro polinomio.

Ejemplo:Calcula los siguientes productos:
1) ( 3 x + 2 y )( 3 x − 7 y ) = ( 3x + 2y )·( 3x - 7y ) = 9 x 2 − 21 x y + 6 x y − 14 y 2
9 x 2 − 15 x y − 14 y 2
2) ( a n + 2 − 2 a n + 3 a n +1 )( a n + a n +1 ) = a 2 n + 2 + 2 a 2 n +3 − 2 a 2 n − 2 a 2 n +1 + 3 a 2 n +1 + 3 a 2 n + 2
nota: p(x) = 1 recibe el nombre de polinomio unitario.
Productos notables
producto notable: Un producto notable, es lamultiplicación de dos o más polinomios con
características bien especiales.
multiplicación de dos binomios que tienen un término en común:
Encontrar el producto entre dos binomios que tienen un término en común.
es decir: ( x + a )( x + b ).
( x + a )( x + b ) = x 2 + b x + a x + a b

= x 2 + x·

(a + b )

+ a· b

explicación: Se multiplican los polinomios término a término y nos damos cuenta que
b x + a x= x (a + b ).

1

( 3 x + 2 y) · ( 3 x _ 7 y )

En palabras diremos que el producto de dos binomios que tienen un término en común,
es
)
igual a: el término en común al cuadrado; ± la suma de los dos términos distintos
multiplicado por el término en común y por último ± el producto de los dos términos
distintos.
nota: ± significa que el signo de término que resulta puede ser positivo o negativo.interpretación geométrica del producto de dos binomios
que tienen un término en común

b

b ·x

a ·b

x

x2

a ·x

x

a

Considerar un rectángulo cuyo largo mide ( x + a ) y el ancho ( x + b ).
El producto de dos binomios que tienen un término en común, corresponde al área de
un rectángulo cuyas dimensiones son ( x + a ) y ( x + b ).

es decir : ( x + a

)( x + b ) = x

2

+bx+a x+ab

= x2 + x ⋅ (a + b )+ a ⋅ b
Ejemplo: Calcula los siguientes productos.
1) (7 ax + 1)(7 ax − 6) = 49 a 2 x 2 − 35 a x − 6
⎛ 3
⎞⎛ 3
⎞ 9
2) ⎜ a 2 + 6 ⎟⎜ a 2 + 2 ⎟ = a 4 + 6 a 2 + 12
⎝ 4
⎠⎝ 4
⎠ 16
producto de la suma por su diferencia:
Encontrar el producto entre dos binomios que son iguales, pero en la que dos de sus
términos que son iguales tienen diferente signo, estos binomios reciben el nombre debinomios conjugados.
es decir: ( x + a )( x − a ).
( x + a )( x − a ) = x 2 − a x + a x − a 2

= x 2 − a2
En palabras diremos que el producto de la suma por su diferencia, es igual a: al cuacuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.
Ejemplo: Calcula los siguientes productos.
1) (x 2 + 3)(x 2 − 3) = x 4 − 9
2) (a n b + c 2 n )(a n b − c 2 n ) = a 2 n b 2 − c 4 n

2

2

aa

x

·

a

2

interpretación geométrica de la suma por su diferencia
Considerar un rectángulo cuyo largo mide ( x + a ) y el ancho ( x − a ).
a

x
x-a

a ·( x - a )

x ·( x - a )

a

x

El producto de la suma por su diferencia, corresponde al área de un rectángulo cuyas
dimensiones son ( x + a ) y ( x − a ).

es decir : ( x + a

)( x − a ) = x ⋅ ( x − a ) + a ⋅ ( x − a )
= x2 − a ⋅ x + a ⋅ x −a2
= x2 − a2

cuadrado de un binomio:
Encontrar el producto entre los siguientes dos binomios que son iguales.
2

es decir : ( a + b ) ⋅ ( a + b ) = ( a + b )

= a 2 + a ⋅ b + a ⋅ b + b2
= a2 + 2 ⋅ a ⋅ b + b2
En palabras diremos que el cuadrado de un binomio, es igual a : al cuadrado del primer término; ± el doble del producto entre el primer término por segundo y por último
el cuadrado del...