Productos Notables

Productos notables
Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, lafactorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.
Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son:
1. ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 2. Binomio de Suma al Cuadrado ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 3. Binomio Diferencia al Cuadrado ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2 4.Diferencia de Cuadrados ( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3= a3 + b3 + 3 ab (a + b) 5. Binomio Suma al Cubo ( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3 6. Binomio Diferencia al Cubo a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2) 7. Suma de dos Cubos | * Diferencia de Cubosa3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2) * Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac= a2+ b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac) * Trinomio Suma al Cubo( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c) * Identidades de Legendre( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab * Producto de dos binomios que tienen un término común( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab |

 Ejemplos :
1. Solución :

Aplicando producto notable en "a" que es una suma debinomios
x2 – 2x + 1 = ( x – 1)2
Luego : ( x – 1)2 (x2 + x + 1)2 + (x3 + 1)2

Aplicando en "d" diferencia de cubos, tenemos :
(x3 – 1)2 + (x2 + 1)2
(x3)2 - 2x3 (1) + 1 + (x3)2 + 2x3 (1) + 1
(x3)2 + (x3)2 + 2 = 2 (x3)2 + 2
= 2x6 + 2 = 2 (x6 + 1)
2. Efectuar : ( x2 – 2x + 1) ( x2 + x + 1)2 + ( x3 + 1)2
M = ( a + b ) ( a2 + b2 ) ( a3 – b3 ) (a2 – ab + b2) (a4 – a2 b2 + b4) + b12Solución
Ordenando los productos notables tenemos :
( a + b ) ( a2 + b2 ) ( a3 – b3 ) (a2 – ab + b2) (a4 – a2 b2 + b4) + b12
* **
Aplicando : cubo de la suma de un binomio en " * ", tenemos :
( a + b ) (a2 – ab + b2) = a3 + b3
Aplicando el producto de suma de cubos en : "* *", tenemos :
( a2 + b2 ) (a4 – a2 b2 + b4) = a6 + b6
Remplazando en la expresión inicial tenemos :
( a3 + b3 ) ( a6 + b6 )( a3 – b3 ) + b12
Ordenando los factores tenemos :
( a3 + b3 ) ( a6 + b6 ) ( a3 – b3 ) + b12
¨
aplicando productos notables en "¨ " :
( a6 + b6 ) ( a6 + b6 ) = a12 – b12 + b12 = a 12 Rpta.
3. Simplificar :

Solución
Desarrollando las potencias mediante productos notables tenemos :

Simplificando y reduciendo términos semejantes tenemos :

K = a2 - b2 Rpta.
4.Simplificar :
5. Hallar el valor de P :

Solución :

à P = à à P = 91/2 à
* P = 3 Rpta.
1. Hallar el valor de E :

Solución :

OTROS EJEMPLOS
Binomio al cuadrado
(a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b2
(x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9
(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9
Suma por diferencia
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52= 4x2− 25
Binomio al cubo
(a ± b)3 = a3 ± 3 · a2 · b + 3 · a · b2 ± b3
(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =
= x 3 + 9 x2 + 27 x + 27
(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33=
= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27
Trinomio al cuadrado
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + + 2 · a · c + 2 · b · c
(x2 − x + 1)2 =
= (x2)2 + (-x)2 + 12 +2 · x2 · (-x) + 2 x2 · 1 + 2 · (-x) ·1=
= x4 + x2 + 1 - 2x3 + 2x2 - 2x=
= x4- 2x3 + 3x2 - 2x + 1
Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)
8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)
Diferencia de cubos
a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)
8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)
Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =
= x2 + 5x + 6...