Productos Notables

ÁLGEBRA: Productos Notables
Objetivo de la guía: Familiarizarse son los productos notables, y poder calcularlos rápidamente.
Existen algunas multiplicaciones que tienen resultados llamativos, que son de uso común y les
llamaremos productos notables. No servirán sobretodo al momento de factorizar, esto es importante
en el trabajo de funciones a futuro.
I)
Suma por su diferencia: Es lamultiplicación de dos binomios con identicos términos
algebraicos, con la salvedad que en un caso se suman y en el otro se restan. El resultado es siempre
el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.
(a + b) (a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2
Demostración gráfica:

b2

b
(a + b)(a - b)

a-b

a

a2 - b 2

a

a

b

a+b
Fijense que el área de las 2figuras es igual (rectángulo celeste + rectángulo turqueza), la primera
que se calcula como el área de un rectángulo de (a+b) por (a – b), y la segunda que es la resta del
área del cuadrado grande, que mide a2, menos el área del cuadrado chico, que mide b2.
Ejemplos:
a) (2a + b)(2a – b) = 4a2 – b2
b)

(3 – 5y3)(3 + 5y3) = 9 – 25y6

// 4a2 es el cuadrado de 2a
// b2 es el cuadrado de b
// 9 esel cuadrado de 3
// 25y6 es el cuadrado de 5y3

Ejercicios: No hacerlos término a término, sino que colocar los resultados directamente.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)

(x – 1)(x +1)
(a + 2)(a – 2)
(x + 3)(x – 3)
(x – 5)(x + 5)
(a + 7)(a – 7)
(x + 8)(x – 8)
(x – 10)(x + 10)

8) (a – 11)(a + 11 )
9) (a + 12)(a – 12)
10) (m + 6)(m – 6)
11) (3a + 1)(3a – 1)
12) (2b – 7)(2b + 7)
13)(5x – 4)(5x + 4)
14) (7a + 11)(7a – 11)

23) (3xy + 6x2)(3xy – 6x2)
24) (10m3 – 7n2)(10m3 + 7n2)
25) (9p2q3 – p3q)(9p2q3 + p3q)
26) (x – 1)(x + 1)(x2 + 1)
27) (a + 2)(a – 2)(a2 + 4)
28) (3m + 2n)(3m – 2n)(9m2 + 4n2)
29) (a – 5b2)(a + 5b2)(a2 + 25b4)
30) (4x + y)(4x – y)(16x2 + y2)

15) (4m – 2)(4m + 2)
16) (4a + 3b)(4a – 3b)
17) (2x + 2y)(2x – 2y)
18) (8p – 5q)(8p + 5q)
19) (7a –c)(7a + c)
20) (6u – 9v)(6u + 9v)
21) (x2 + 4)(x2 – 4)
22) (a2 – 5a)(a2 + 5a)

II)
Cuadrado de binomio: Es la multiplicación de un binomio por si mismo. El resultado es
siempre el primer término al cuadrado sumado al doble del producto de los términos sumado al
cuadrado del segundo término.
(p + q)2 = (p + q)(p + q) = p2 + pq + pq + q2 = p2 + 2pq + q2
(p – q)2 = (p – q)(p – q) = p2 – pq –pq + q2 = p2 – 2pq + q2
Demostración gráfica:

q2

q

(p - q)2

(p - q)
p

p2

p

El área del cuadrado grande se puede calcular
de 2 maneras:
1) (p+q)2, pues cada lado mide (p+q)
2) La suma de las áreas internas, lo cual sería:
p2 (cuadrado celeste) +
2pq (los 2 rectángulos) +
q2 (cuadrado chico)
Con lo cual, (p + q)2 = p2 + 2pq + q2
Ejemplos:
a) (x + 2)2

q(p - q)

pqp+q

pq

q(p - q)

q

q2

= x2 + 4x + 4

El área del cuadrado grande se puede calcular
de 2 maneras:
1) p2, pues cada lado mide p
2) La suma de las áreas internas, lo cual sería:
(p – q)2 (cuadrado rosado) +
2q(p – q) (los 2 rectángulos) +
q2 (cuadrado chico)
Con lo cual, p2 = (p – q)2 + 2q(p – q) + q2
Despejando (p – q)2 queda:
(p – q)2 = p2 – 2q(p – q) – q2
(p – q)2 = p2– 2pq + 2q2 – q2
(p – q)2 = p2 – 2pq + q2

// x2 es el cuadrado de x
//4x es el doble de x por 2
// 4 es el cuadrado de 2

b) (2a – 3b)2 = 4a2 – 12ab + 9b2

// 4a2 es el cuadrado de 2a
// -12ab es el doble de 2a por -3b
// 9b2 es el cuadrado de -3b

Ejercicios: No hacerlos término a término, sino que colocar los resultados directamente.
1) (a + 1)2
2) (b – 2)2
3) (x – 5)2
4) (c +6)2
5) (p – 9)2
6) (x + 4)2
7) (a – 3)2
8) (a + 8)2
9) (3y – 7)2
10) (4x + 5)2

11) (3a – 1)2
12) (u + v)2
13) (m – n)2
14) (2x + 5y)2
15) (3a – 4b)2
16) (11c + 6a)2
17) (2m – 6n)2
18) (x2 + 2y)2
19) (3a2 – b3)2
20) (5m2n + 4mn5)2

III)
Binomio con término común: Es la multiplicación de dos binomios que tienen un elemento
repetido. El resultado es siempre el primer término...