Productos Notables


Preparatoria Regional de Santa Anita
Act.1:Productos Notables
Módulo 1: Operaciones con binomios y polinomios, su factorización.


La noción de productos notables se emplea en la matemática para nombrar a determinadas expresiones algebraicas que pueden factorizarse de manera inmediata, sin recurrir a un proceso de diversos pasos.
En este sentido, debemos recordar que el concepto de producto,en el ámbito matemático, refiere al resultado de una operación de multiplicación. Los valores que entran en juego en estas operaciones, por otra parte, se conocen como factores.
Una expresión algebraica que aparece con frecuencia y que puede someterse a una factorización a simple vista, por lo tanto, se denomina producto notable. Un binomio cuadrado y el producto de dos binomiosconjugados son ejemplos de productos notables.
Un ejemplo concreto de binomio al cuadrado es el siguiente:
(m + n)² = m² + 2mn + n²
Dicho producto notable refiere que el cuadrado de la suma de m y n es igual al cuadrado de m más dos veces m multiplicado por n más el cuadrado de n.
Lo podemos comprobar reemplazando los términos por valores numéricos:

(2 + 4)² = 2² + 2 x 2 x 4 + 4²
6²= 4 + 16 + 16
36 = 36
De estamanera, si nos encontramos el cuadrado de un binomio como en el ejemplo anterior, podemos factorizarlo de manera inmediata, sin necesidad de recurrir a todos los pasos, ya que se trata de un producto notable.
El binomio al cuadrado también puede consistir en la resta de las dos variables que se elevan al cuadrado. En tal caso, la diferencia con respecto al ejemplo anterior es que para resolverlo sedebe invertir el primer signo más después del igual, de manera que quede la siguiente ecuación:
(m – n)² = m² – 2mn + n²
1. Binomio al cubo: Así como el binomio al cuadrado, éste también se divide en suma y resta. En el primer caso, se trata del cubo de la suma de dos variables, que es igual al cuadrado del primero más el triple del primero al cuadrado por el segundo, más el triple del primero porel segundo al cuadrado, más el segundo al cubo. Para la resta, se deben invertir el primero y el último signo más.
(Definicion de, 2015)
Binomio de suma al cubo: Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3
(x+ 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =
= x3 + 9x2 + 27x + 27



Binomio de resta al cubo: Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.
(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3
(2x − 3)3 = (2x)3 − 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 − 33 =
= 8x 3 − 36x2 + 54 x – 27

Ejemplos:
1(x + 2)3 = x3 + 3 · x2 · 2 + 3 · x · 22 + 23 =
= x3 + 6x2 + 12x + 8
2(3x − 2)3 = (3x)3 − 3 · (3x)2 · 2 + 3 · 3x · 22 − 23 =
= 27x 3 − 54x2 + 36x – 8
3(2x + 5)3 = (2x)3 + 3 · (2x)2 ·5 + 3 · 2x · 52 + 53 =
= 8x3 + 60 x2 + 150 x + 125

2. Binomio al cuadrado:
Binomio de suma al cuadrado: Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más eldoble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.
(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2
(x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9
Binomio de resta al cuadrado: Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.
(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2
(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 +3 2 = 4x2 − 12 x + 9 (Ditutor, 2015)

3. Binomio con un término común: El producto de dos binomios del tipo  es igual al cuadrado del primer término, más el producto de la suma de los dos segundos términos por el primer término, más el producto de los segundos términos.
Se trata de demostrar que 
Tendremos que: 
Es decir, tal como queríamos demostrar.
 EJEMPLO:
Comprobar que.
SOLUCIÓN:...