Productos notables

Productos Notables

Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Losmás importantes son:

* Suma de un Binomio al Cuadrado
(a + b)² = a² + 2ab + b²

* Diferencia de un Binomio al Cuadrado
(a - b)² = a² - 2ab + b²

* Diferencia de Cuadrados ó producto de dos binomios conjugados
(a + b) (a - b) = a² - b²

* Suma de Binomio al Cubo
(a + b)³ = a³ + 3 a²b + 3 ab² + b³

* Diferencia de Binomio al Cubo
(a - b)³ = a³ - 3 a²b + 3ab² - b³

* Productos de dos binomios que tienen un término común
(x + a)(x + b) = x² + (a + b) x + ab

Ahora vamos a explicar cada uno de ellos de manera detallada:

PARTE I

* Suma de un Binomio al cuadrado
(a + b)² = a² + 2ab + b²

El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el doble producto de ambos términos más el cuadradodel segundo término.
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Este producto notable tiene dos orígenes el numérico y el geométrico:

En el origen numérico se procede a resolver el cuadrado del binomio como un producto de factores iguales.

(a + b) ² = (a + b). (a + b)

a + b
a + b
a² + abab + b²
Origen Numérico:

a² + 2ab + b²

Origen Geométrico:

Veamos algunos ejercicios de suma de Binomio al cuadrado
Ejercicios Resueltos:

1) (3x +9)²
Aplicando la definición cuadrado del primer término que en este caso es (3x) más el doble producto de ambos términos en este caso (2.3x.9) más el cuadrado del segundo término que es (9)Principio del formulario

Final del formulario
a) |   | El cuadrado del 1er término es (3x)(3x) = 9x2 |
b) |   | El doble producto de ambos términos es 2(3x)(9) = (6x)(9) = 54x |
c) |   | El cuadrado del 2do término es (9)(9) = 81 |
(3x + 9)² = 9x² + 54x + 81

Entonces

2) (12x + 5)²
Aplicando la definición cuadrado del primer término que en este caso es (12x) más eldoble producto de ambos términos en este caso (2.12x.5) más el cuadrado del segundo término que es (5)




a) |   | El cuadrado del 1er término es (12x)(12x) = 144x2 |
b) |   | El doble producto de ambos términos es 2(12x)(5) = (24x)(5) = 120x |
c) |   | El cuadrado del 2do término es (5)(5) = 25 |
(12x + 5)² = 144x² + 120x + 25

Entonces


* Diferencia de un Binomio alcuadrado
(a - b)² = a² - 2ab + b²

El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.

Tiene el mismo de la suma de un binomio al cuadrado, siendo la única diferencia que el segundo término es negativo:

En el origen numérico se procede a resolver el cuadrado del binomiocomo un producto de factores iguales.


Origen Numérico:

(a - b) ² = (a - b). (a - b)

a - b
a - b
a² - ab
- ab + b²

a² - 2ab + b²

Origen Geométrico:


| | b | a - b |
a | b | b² | ab - b² |
| a- b | ab -b²| (a – b)² |

(a – b)² = a² - [b² + (ab – b²) + (ab – b²)]
= a² - [b² + ab - b² + ab - b²
= a² - b² - ab + b² - ab + b²
= a² - 2ab + b²



















Veamos algunos ejercicios de Diferencia de un Binomio al cuadrado

Ejercicios resueltos:


1) (2x - 11)²
Aplicando...