Productos notables

Factorización : es el proceso de encontrar dos o más expresiones cuyo producto sea igual a
una expresión dada; es decir, consiste en transformar a dicho polinomio como el producto de dos o más factores.

•Factorización de un trinomio cuadrado perfecto:
REGLA PARA FACTORAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:
La regla para factorar o factorizar un trinomio cuadrado perfecto dice que se extraela raíz cuadrada al primer y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.

Ejemplos
1) Factorizar m2 + 2m + 1
m2+2m+1=(m + 1)(m + 1) = (m + 1)2


m 1


2) Descomponer 4X2 + 25y2 - 20xy

Al ordenar eltrinomio tenemos:
4x2- 20xy + 25y2= (2x - 5y )(2x - 5y ) = (2x - 5y )2

(2x) (5y)

Es importante destacar que cualquiera de las dos raíces puede ponerse como minuendo, por lo que en el ejemplo anterior también tendríamos:

4x2 - 20xy + 25y2 = (5y - 2x )(5y - 2x ) = (5y - 2x )2

(2x ) (5y)

porque al desarrollar este binomio resulta: (5y - 2x )2= 25y2 – 20xy +4x2 que es una expresión idéntica a 4x2 - 20xy + 25y2, ya que tiene las mismas cantidades con los mismos signos.

3) Descomponer 1 - 16ax2 + 64a2 x4

1 - 16ax2 + 64a2 x4 = (1 - 8ax2)2 = (8ax2- 1)2

(1) (8ax2)


REGLA PARA FACTORIZAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS:
Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raícescuadradas por la diferencia de ellos mismos

Ejemplos:
1) Factorizar 1 –a2

La raíz cuadrada de 1 es “1”; la raíz cuadrada dea2 es “a”. Multiplicamos la suma de estas raíces
(1 +a ) por la diferencia (1 -a ) por lo tanto:

1 –a2 = (1 +a )(1 -a )

2) Descomponer 16x2 – 25y4
La raíz cuadrada de 16x2 es 4x ; la raíz cuadrada de 25y4 es 5y2
Multiplicamos la suma de estasraíces (4x + 5y2) por su diferencia (4x - 5y2) por lo tanto:
16x2 – 25y4 = (4x + 5y2)(4x - 5y2)

REGLA PARA FACTORAR UN TRINOMIO cuadrático o de segundo grado

1) Se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es “x”, o sea la raíz cuadrada
del primer término del trinomio.
2) En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en elsegundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del
segundo término por el signo del tercer término.

3) Si los dos factores binomios tienen en medio signos iguales, se buscan dos números cuya
suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio, mismos que serán los segundostérminos de los binomios.
4) Si los dos factores binomios tienen en medio signos distintos, se buscan dos números cuya
diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio, y el menor es el segundo término del segundo binomio.
Ejemplo
1) Factorarx2 + 5x + 6
Este trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada de x2,
o sea x:
En el primer binomio, después dex, se pone el signo (+) porque el segundo término del trinomio (+) 5x tiene signo (+). En el segundo binomio, después dex, se escribe el signo que resulta de multiplicar (+ 5x) por (+ 6), y como (+) por (+) da (+), entonces:
En el primer binomio,después de x, se pone el signo (+) porque el segundo término del trinomio (+) 5x tiene signo (+). En el segundo binomio, después de x, se escribe el signo que resulta de multiplicar (+ 5x) por (+ 6), y como (+) por (+) da (+), entonces:
X2+ 5x+6= (x + )(x+ )
Dado que en estos binomios hay signos iguales, buscamos dos números cuya suma sea 5 y
cuyo producto sea 6. Dichos números son 2 y 3,...