Productos notrables

prPRODUCTOS NOTABLES
Los productos notables son ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede escribirse por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. Las letras representan números reales, razón por la cual se puede aplicar las propiedades operatorias de los números reales para verificar la validez e cada fórmula. Los símbolos que aparecen en la sfórmulas, por ejemplo x ó a representan números reales, Las CUALES se puede sustituir por expresiones algebraicas en general.

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, entonces el cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el doble de la primera por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
EJEMPLOS
1.- (x + 4)2Cuadrado del primero (x)2 = x2
Doble del primero por el segundo 2(x)(4) = 8x
Cuadrado del segundo (4)2 = 16
Entonces (x + 4)2 = x2 + 8x + 16
2.- (4a + 5b2)2
Cuadrado del primero (4a)2 = 16a2
Doble del primero por el segundo 2(4a)(5b2) = 40ab2
Cuadrado del segundo (5b2)2 = 25b4
Entonces (4a + 5b2)2 = 16a2 + 40ab2 + 25b4

3.- (3a2 + 5x3)2
Cuadrado del primero (3a2)2 = 9a4Doble del primero por el segundo 2(3a2)(5x3) = 30a2x3
Cuadrado del segundo (5x3)2 = 25x6
Entonces (3a2 + 5x3)2 = 9a4 + 30a2x3 + 25x6

4.- (7ax4 + 9y5)2
(7ax4 + 9y5)2 = 49a2x8 + 126ax4y5 + 81y10

CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES (a - b)2 = a2 - 2ab + b2, entonces el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos doble dela primera por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

EJEMPLOS
1.- (x - 4)2
Cuadrado del primero (x)2 = x2
Doble del primero por el segundo 2(x)(4) = 8x
Cuadrado del segundo (4)2 = 16
Entonces (x + 4)2 = x2 - 8x + 16

2.- (4a - 5b2)2
Cuadrado del primero (4a)2 = 16a2
Doble del primero por el segundo 2(4a)(5b2) = 40ab2
Cuadrado del segundo (5b2)2 = 25b4Entonces (4a + 5b2)2 = 16a2 - 40ab2 + 25b4

3.- (x – 5)2
(x – 5)2 = x2 – 10x + 25

4.-(4r2 – 3p3)2
(4r2 – 3p3)2 = 16r4 – 24r2p3 + 9p6


PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES
(a + b)(a – b) = a2 – b2, por lo tanto la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda cantidad.

EJEMPLOS1.- (a + x)(a – x)
Cuadrado de la primera cantidad (a)2 = a2
Cuadrado de la segunda cantidad (x)2 = x2
Entonces (a + x)(a – x) = a2 – x2

2.- (2a + 3b) (2a - 3b)
Cuadrado de la primera cantidad (2a)2 = 4a2
Cuadrado de la segunda cantidad (3b)2 = 9b2
Entonces (2a + 3b)(2a – 3b) = 4a2 – 9b2

3.- (5an + 1 + 3am)(3am – 5an + 1)
OJO Se tienen que fijar como esta acomodadala diferencia para acomodar en ese orden la suma y así tener la primera y segunda cantidad. Lo reacomodamos (3am + 5an + 1)(3am – 5an + 1)
Cuadrado de la primera cantidad (3am)2 = 9a2m
Cuadrado de la segunda cantidad (5an + 1)2 = 25a2n + 2
Entonces (3am + 5an + 1)(3am – 5an + 1) = 9a2m - 25a2n + 2

4.- (1 + 3x)(1 – 3x)
(1 + 3x)(1 – 3x) = 1 – 9x2

CUBO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, esto es el cubo de la primera cantidad mas el triple del cuadrado de la primera por la segunda mas el triple de la primera por el cuadrado de la segunda mas el cubo de la segunda.
EJEMPLOS
1.- (a + 1)3
Cubo de la primera cantidad (a)3 = a3
Triple del cuadrado de la primera por la segunda cantidad 3(a)2(1) = 3a2
Triple de la primera por el cuadrado dela segunda cantidad 3(a)(1)2 = 3a
Cubo de la segunda cantidad (1)3 = 1
Entonces (a + 1)3 = a3 + 3a2 + 3a + 1

2.- (5xy2 + 8x3)3
Cubo de la primera cantidad (5xy2)3 = 125x3y6
Triple del cuadrado de la primera por la segunda cantidad 3(5xy2)2(8x3) = 600x5y4
Triple de la primera por el cuadrado de la segunda cantidad 3(5xy2)(8x3)2 = 960x7y2
Cubo de la segunda cantidad...