Produtos Notables Y Factorizaci N

PRODUCTOS, COCIENTES NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
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C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA

Otros polinomios pueden tener tres variables, por ejemplo x, y, z o bien, para
el caso, cualquier número de variables. La adición, sustracción y multiplicación se realizan usando propiedades de números reales, igual que para polinomios con una variable.
El siguiente ejemplo ilustra la división de unpolinomio entre un
monomio.
EJEMPLO 4

División de un polinomio entre un monomio

Exprese como un polinomio en x y y:
6x 2y 3 ϩ 4x 3y 2 Ϫ 10xy
2xy
SOLUCIÓN

6x 2y 3 ϩ 4x 3y 2 Ϫ 10xy 6x 2y 3 4x 3y 2 10xy
ϭ
ϩ
Ϫ
divida cada término entre 2xy
2xy
2xy
2xy
2xy
ϭ 3xy 2 ϩ 2x 2y Ϫ 5

simplifique

L

Los productos que se listan en la siguiente tabla se presentan con tal frecuencia que merecen especialatención. El lector puede comprobar la validez
de cada fórmula por multiplicación. En (2) y (3), usamos ya sea el signo superior en ambos lados o el signo inferior en ambos lados. Así, (2) es en realidad dos fórmulas:
͑x ϩ y͒2 ϭ x 2 ϩ 2xy ϩ y 2

͑x Ϫ y͒2 ϭ x 2 Ϫ 2xy ϩ y 2

y

Del mismo modo, (3) representa dos fórmulas
Fórmulas de productos

Fórmula

Ejemplos

(1) ͑x ϩ y͒͑x Ϫ y͒ ϭ x Ϫ y
(2) ͑x Ϯ y͒2 ϭx 2 Ϯ 2xy ϩ y 2

͑2a ϩ 3͒͑2a Ϫ 3͒ ϭ ͑2a͒2 Ϫ 32 ϭ 4a2 Ϫ 9
͑2a Ϫ 3͒2 ϭ ͑2a͒2 Ϫ 2͑2a͒͑3͒ ϩ ͑3͒2
ϭ 4a2 Ϫ 12a ϩ 9

(3) ͑x Ϯ y͒3 ϭ x 3 Ϯ 3x 2y ϩ 3xy 2 Ϯ y 3

͑2a ϩ 3͒3 ϭ ͑2a͒3 ϩ 3͑2a͒2͑3͒ ϩ 3͑2a͒͑3͒2 ϩ ͑3͒3

2

2

ϭ 8a3 ϩ 36a2 ϩ 54a ϩ 27

Otras ilustraciones de las fórmulas del producto se dan en el siguiente
ejemplo.
EJEMPLO 5

Uso de fórmulas del producto

Encuentre el producto:
(a) ͑ 2r 2 Ϫ 2s ͒͑ 2r2 ϩ 2s ͒

(b)

ͩ

2c ϩ

1

ͪ

2c

1

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2

(c) ͑2a Ϫ 5b͒3

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1.3 Expresiones algebraicas

37

SOLUCIÓN

(a) Usamos la fórmula 1 del producto, con x ϭ 2r 2 y y ϭ 2s:

͑2r 2 Ϫ 2s͒͑2r 2 ϩ 2s͒ ϭ ͑2r 2͒2 Ϫ ͑ 2s͒2
ϭ 4r 4 Ϫ s
(b) Usamos la fórmula 2 del producto, con x ϭ 2c y y ϭ

ͩ

2c ϩ

1

ͪ

2

2c

ϭ ͑ 2c ͒2 ϩ 2 и 2c и
ϭcϩ2ϩ

1
2c

ϩ

12c

:

ͩ ͪ
1

2

2c

1
c

Nótese que la última expresión no es un polinomio.
(c) Usamos la fórmula 3 del producto, con x ϭ 2a y y ϭ 5b:
͑2a Ϫ 5b͒3 ϭ ͑2a͒3 Ϫ 3͑2a͒2͑5b͒ ϩ 3͑2a͒͑5b͒2 Ϫ ͑5b͒3
ϭ 8a3 Ϫ 60a2b ϩ 150ab2 Ϫ 125b3

L

Si un polinomio es un producto de otros polinomios, entonces cada polinomio del producto es un factor del polinomio original. Factorizar es el proceso de expresar una suma detérminos como producto. Por ejemplo, como x 2 Ϫ 9 ϭ ͑x ϩ 3͒͑x Ϫ 3͒, los polinomios x ϩ 3 y x Ϫ 3 son factores de
x 2 Ϫ 9.
La factorización es un proceso importante en matemáticas, puesto que se
puede usar para reducir el estudio de una expresión complicada al estudio de
varias expresiones más sencillas. Por ejemplo, las propiedades del polinomio
x 2 Ϫ 9 se pueden determinar al examinar los factores xϩ 3 y x Ϫ 3. Como veremos en el capítulo 2, otro importante uso de la factorización está en hallar
soluciones de ecuaciones.
Vamos a estar interesados principalmente en factores no triviales de
polinomios, es decir, factores que contengan polinomios de grado positivo. No
obstante, si los coeficientes se restringen a enteros, entonces por lo general
eliminaremos un factor común entero de cadatérmino del polinomio. Por
ejemplo,
4x 2y ϩ 8z 3 ϭ 4͑x 2y ϩ 2z 3͒.
Un polinomio con coeficientes en algún conjunto S de números es primo
o irreducible sobre S, si no se puede escribir como producto de dos polinomios de grado positivo con coeficientes en S. Un polinomio puede ser irreducible sobre un conjunto S pero no sobre otro. Por ejemplo, x 2 Ϫ 2 es
irreducible sobre los números racionales, puestoque no se puede expresar
como producto de dos polinomios de grado positivo que tengan coeficientes
racionales. Sin embargo, x 2 Ϫ 2 no es irreducible sobre los números reales, ya
que podemos escribir
x 2 Ϫ 2 ϭ ͑ x ϩ 22͒͑ x Ϫ 22͒.

2

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C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA

Del mismo modo, x 2 ϩ 1 es irreducible sobre...