Prof de Matemática

departamento de ingenieria matematica
facultad de ciencas fisicas y matematicas
UNIVERSIDAD DE CHILE

Cálculo Vectorial, Variable Compleja
y
Ecuaciones en Derivadas Parciales
Apuntes para el curso MA26B
Matemáticas Aplicadas
Felipe Alvarez
Juan Diego Dávila
Roberto Cominetti
Héctor Ramírez C.
Agosto 2005

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Prefacio
El cálculo vectorial en n , y el cálculo diferencial eintegral de funciones de variable compleja son materias
fundamentales del análisis matemático, tanto por su interés en matemáticas puras como por su utilidad para
modelar y resolver problemas en ingeniería. Una gran variedad de estos últimos se expresan en términos de
ecuaciones en derivadas parciales (EDP), para cuya resolución los métodos basados en variable compleja son de
gran eficacia.
Elobjetivo de estos apuntes es proporcionar los elementos básicos del cálculo vectorial, de la teoría de funciones
de variable compleja e ilustrar su utilización en la resolución de ecuaciones en derivadas parciales, tal como se
expone en el curso de Matemáticas Aplicadas. Esta es una de las asignaturas del segundo año de la carrera de
Ingeniería Civil de la Facultad de Ciencias Físicas yMatemáticas de la Universidad de Chile.
Estos apuntes se basan en las notas escritas en colaboración con mi colega el Profesor Roberto Cominetti, y
se han beneficiado de una activa participación de los Profesores Héctor Ramírez Cabrera y Juan Diego Dávila.
Buena parte del material referente a la teoría de EDP se debe a este último. Agradezco a todos ellos las múltiples
e interesantes discusiones que hemostenido sobre diversos aspectos del curso.
Mis más sinceros agradecimientos a Miguel Carrasco y Claudio Pizarro, quienes participaron activamente en
la confección de este apunte al transcribir en LaTeX buena parte de las notas manuscritas, elaborar todas las
figuras y sugerir varias ideas para mejorar la presentación. Sin ellos, la versión actual de los apuntes no existiría.
También deboagradecer a Regina Mateluna por su eficiente y siempre bien dispuesta colaboración.
Finalmente, quisiera agradecer el financiamiento proporcionado por el Departamento de Ingeniería Matemática
de la Universidad de Chile y por el proyecto Fondef IDEA+.
Felipe Alvarez
Agosto 2004

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Derechos de autoría DIM
Se concede permiso para imprimir o almacenar una única copia de este documento.Salvo por las excepciones más
abajo señaladas, este permiso no autoriza fotocopiar o reproducir copias para otro uso que no sea el personal,
o distribuir o dar acceso a versiones electrónicas de este documento sin permiso previo por escrito del Director
del Departamento de Ingeniería Matemática (DIM) de la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas (FCFM)
de la Universidad de Chile.
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(2) Las copias distribuidas por el cuerpo docente de la FCFM en el ejercicio de las funciones que le son propias.
Cualquier reproducción parcial de este documento debe hacer referencia a su fuente de origen.
Este documento fue financiado a través de los recursos asignados porel DIM para la realización de actividades
docentes que le son propias.

Índice general
I

Cálculo Vectorial

1. Curvas y superficies en

1
3

3

1.1. Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1. Reparametrización de curvas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2.Parametrización en longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3. Velocidad, rapidez y vector tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.4. Integral de Línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.5. Centro de Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....