Prof.en matemática

OPERACIONES CON POLINOMIOS: DIVISIÓN POR LA REGLA DE RUFFINI

EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1:

A = 10 x2 - 5 - 3x4 + 2x3
B = x + 2

A:B = (10x2 - 5 - 3x4 + 2x3) : (x + 2) =


1) Polinomio A ordenado y completo: -3x4 + 2x3 + 10x2 + 0x - 5

2) El término independiente del polinomio divisor, con el signo "cambiado": -2



Cociente = -3x3 + 8x2 - 6x + 12

Resto: -29Solamente se puede aplicar la Regla de Ruffini cuando el divisor es un binomio de la forma: (x - a). Por ejemplo: (x - 3), (x + 2), (x - 1/2), etc.

Para aplicar la Regla de Ruffini,  se ponen los coeficientes de dividendo
-completo y ordenado de mayor a menor grado-, y el opuesto del número "a" del divisor (El opuesto del término independiente. Si es una suma, queda un número negativo. Si es unaresta, queda un número positivo). Las x (o letras) del polinomio se quitan, y se hacen determinadas operaciones entre los números (ver en la EXPLICACIÓN todos los pasos). Luego, en el resultado, el último número de la derecha es el Resto de la división; y los otros números son los coeficientes del Cociente (resultado de la división), a los que hay que agregarles las "x" en orden de izquierda aderecha, comenzando por un grado menos que el del dividendo y disminuyendo hasta llegar a un término independiente (grado cero).

Hay divisores de grado 1 que no tienen la forma (x - a), pero que pueden ser modificados de alguna manera para que la tengan, y así luego poder usar la Regla de Ruffini (Ver EJEMPLO 7 y EJEMPLO 6)

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1




EJEMPLO 2: (El dividendo A no tienetérmino independiente)

A = -4x4 + 30x + x5
B = x - 3

A : B = (-4x4 + x5 + 30x)  :(x - 3)

1) Polinomio A ordenado y completo: x5 - 4x4 + 0x3 + 0x2 + 30x + 0

2) El opuesto del término independiente del polinomio divisor: 3



Cociente =  x4 - x3 - 3x2 - 9x + 3

Resto: 9


Si no hay término independiente en el dividendo, hay que completarlo con "0", tal como se completan losotros grados intermedios. El coeficiente de la x5 es 1, pues x5 es igual a 1.x5. En el resultado también quedaron coeficientes "1" y "-1", pero luego en el Cociente no hace falta ponerlos.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2


EJEMPLO 3: (Con el dividendo muy incompleto)

A = 2x - x7
B = x + 1

A : B = (2x - x7):(x + 1)

1) Polinomio A ordenado y completo:

-x7 + 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 +2x + 0

2) El opuesto del término independiente del polinomio divisor: -1

Cociente: -x6 + x5 - x4 + x3 - x2 + x + 1

Resto: -1

No hay que olvidarse ningún cero, ya que deben rellenarse las columnas de todos los grados.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3




EJEMPLO 4: (Caso particular: El dividendo es un polinomio de grado 1)

A = -3x + 5/2
B = x - 4

A : B = (-3x + 5/2):(x -4)

Polinomio A ordenado y completo: -3x + 5/2

El opuesto del término independiente del polinomio B: -(-4) = 4



Cociente: -3

Resto: -19/2

Como el grado del dividiendo es 1, el grado del cociente es 0 (un grado menos que el dividendo). Así que el cociente es un "número solo" (término independiente, término de grado 0).


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4




EJEMPLO 5:(Polinomios con dos letras)

A =  x5 + y5
B = x + y

A : B = (x5 + y5):(x + y)

El polinomio A completo y ordenado: x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + y5

El opuesto del término independiente del polinomio B: -y



Cociente: x4 - yx3 + y2x2 - y3x + y4

Resto: 0


Divisiones como éstas se presentan en el Sexto caso de factoreo, y se las puede resolver aplicando la regla de Ruffini, tomando auna de las letras como la "indeterminada" del polinomio, y a la otra letra como si fuera un número.
En este ejemplo tomo a la "x" como indeterminada ("la letra del polinomio"), y a y5 lo tomo como si fuera un número. Como el término y5 no tiene la indeterminada "x", cumple el papel del término independiente. Por eso tengo que completar los grados intermedios entre 5 y 0. En el divisor, la "y"...