Profecional

Tema 1 El sistema de los n´ meros reales u y los n´ meros complejos u
1.1. Introducci´n o

A lo largo de la primera parte de este curso estudiaremos las funciones reales de una variable real, es decir funciones con dominio y rango en el conjunto de los n´meros reales, representado a partir de ahora por R. La mayor´ de los u ıa conceptos y resultados que vamos a ver son conocidos por vosotros,por ello nuestro objetivo es estudiarlos con mayor profundidad y rigor. Comenzaremos por el estudio de las propiedades de los n´meros reales, en su mayor parte u familiares para vosotros. Sin duda, sab´is que se pueden sumar y multiplicar y e que hay n´meros reales positivos y negativos. Tambi´n puedes extraer ra´ de u e ıces n´meros reales positivos y elevar un n´mero real positivo a otro n´meroreal. Lo u u u que quiz´s no sep´is es que todo lo que puedes hacer con los n´meros reales es a a u consecuencia de unas pocas propiedades que dichos n´meros tienen que, adem´s, u a son muy elementales. En este tema estable-ceremos dichas propiedades. Ser´n a nuestro punto de partida para todo lo que sigue; constituyen los axiomas del C´lculo. a

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´ ´ EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES YLOS NUMEROS COMPLEJOS

Sabemos que existe un conjunto no vac´ R de elementos, los llamaremos ıo n´meros reales que satisfacen los 10 axiomas que estudiaremos en la siguiente u secci´n. Estos axiomas se agrupan en tres tipos: axiomas de cuerpo, axiomas de o orden y axioma de completitud o del supremo. Recordemos que el conjunto de los n´meros reales contiene a otros conjuntos u de n´meros: u 1.El conjunto de los n´meros naturales: 1, 2, . . . , n, . . . El conjunto de los u n´meros naturales lo representaremos por N. u 2. El conjunto de los n´meros enteros: . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . , n, . . . El conu junto de los n´meros enteros lo representaremos por Z. u 3. El conjunto de los n´meros racionales que son los de la forma p/q donde u p ∈ Z, q ∈ N. El conjunto de los n´merosracionales lo representaremos u por Q. Existen n´meros reales que no son racionales, por ejemplo u llamados irracionales y representados por I. √ 2, π, y que son

1.2.

Los axiomas de cuerpo

Dados dos n´meros reales, x e y, se pueden definir las operaciones suma, u x+y, y producto, xy, con respecto a las cuales satisfacen los siguientes axiomas, donde x, y, z representan n´meros reales arbitrarios.u Axioma 1. Conmutatividad: x + y = y + x , xy = yx Axioma 2. Asociatividad: x + (y + z) = (x + y) + z , x(yz) = (xy)z Axioma 3. Distributividad: x(y + z) = xy + xz Axioma 4. Existencia de elemento neutro: Existen dos n´meros reales disu tintos, representados por 0 y 1, tales que para todo x ∈ R, x + 0 = x y x1 = x.

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Axioma 5.Existencia de elementos sim´tricos: Para cada n´mero real x e u existe otro n´mero real, llamado opuesto de x y representado por −x, tal que u x + (−x) = 0. Para cada n´mero real x = 0 existe otro n´mero real, llamado inverso de x u u y representado por x−1 , tal que xx−1 = 1. Notaci´n: Escribiremos x − y por x + (−y) y tambi´n o e
x y

por x(y −1 ) .

Estos axiomas nos dicen que (R, +, ·)es un cuerpo conmutativo. A partir de ellos se pueden deducir las reglas usuales de la Aritm´tica (ejercicio 2). e

1.3.

Los axiomas de orden

En el conjunto de los n´meros reales existe una relaci´n que establece una u o ordenaci´n de los n´meros reales, y. Axioma 7. Si x < y, entonces, para cada z ∈ R, es x + z < y + z. Axioma 8. Si x > 0 e y > 0, entonces xy > 0. Axioma 9. Si x > y e y >z, entonces x > z. Notas 1.3.1. 1.- Utilizaremos x ≤ y para abreviar x < y o x = y.

2.- Diremos que un n´mero real x es positivo si x > 0 y negativo si x < 0. u

1.4.

El axioma de completitud

Antes de enunciar el axioma de completitud necesitamos, para su adecuada comprensi´n, introducir algunas notaciones y conceptos. o Definici´n 1.4.1. Sea A un conjunto de n´meros reales. Si existe...