Profesional tecnico bachiller

UNIDAD 1: Números complejos



Álgebra lineal

ÍNDICE
Conceptos por tema………………………………………………………………………3
1.1 Definición de números complejos………………………………………...3
1.2

Operaciones fundamentales con los números complejos…….4

1.3

Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de los números

complejos………………………………………………………………………………….4
1.4

Forma polar y exponencial de un númerocomplejo……………..5

1.5

Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de

un numero complejo…………………………………………………………………6
1.6 Ecuaciones polinómicas…………………………………………………………7
Conclusiones……………………………………………………………………………..8
Bibliografía………………………………………………………………………………..9



Álgebra lineal

Conceptos por tema
1.1 Definición y origen de los números complejos
Un número complejo es un número cuyocuadrado es negativo. Este término fue
destacado por el matemático René Descartes en el siglo XVII donde expresaba
claramente sus ideas. Actualmente los números imaginarios o complejos se ubican
sobre el eje vertical del plano complejo.
Los números imaginarios permiten calcular raíces con índice par y radicando negativo.

Concordando con la definición, la expresión analítica del conjunto denúmeros complejos:

C={(a ;b)/a € R ^ b € R }
Dado un complejo z=(a;b), la primer componente se le conoce como parte real (Re(z)) y
la segunda componente es llamada parte imaginaria (m(z)).
Los complejos de la forma (a;0) reciben el nombre de números complejos reales puros (CR)
y se encuentran situados en el eje real. Los complejos de la forma (0; b) se denominan
complejos imaginarios puros y seubican sobre el eje imaginario. (0,1) se llama la unidad
imaginaria y se denota por:

i= (0,1

z= a + ib

1.2 Operaciones fundamentales con los números complejos


Suma y producto de complejos:
Sean: Z1 = a1 + ib1 y Z2=a2 + ib2
SUMA:
Z1 + Z2 = (a1 + a2) + i (b1 + b2)
Sean: Z1 = a + ib y Z2=c + id
PRODUCTO:
(a + bi) · (c + d i) = (ac − bd) + (ad + bc)i

Karla González RojasÁlgebra lineal



Resta y división de complejos:
Sean Z1 = a + ib y Z2=c + id
RESTA:
( a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Sean Z1 = a + ib y Z2=c + id
DIVISIÓN:

1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo


Módulo de un número complejo:

El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen
de coordenadas y su afijo. Sedesigna por |z|.

 Argumento de un número complejo
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el
vector con el eje real. Se designa por arg (z).

.

La potencia enésima de número complejo es otro número complejo tal que:
Su módulo es la potencia n-ésima del módulo y su argumento es n veces el
argumento dado.




Se calculan algunas potencias n € N0 de la unidadimaginaria i:
i0=1
i3=i*i2=-i
i1=i
i4=i2*12=1
i2=-1
i5=i*i4=i

i6=(i2)3=-1
i7=i*i6=-i
i8=i4*i4=1

Se observa que, cada cuatro potencias sucesivas de la unidad imaginaria se repiten las
soluciones, por lo tanto, cuando se desea elevar i a una potencia n € N0 cualquiera, se
puede proceder de la siguiente manera:
i0

= 1

i3

= −i

i1

=

i

i4

= 1

i2 = −1
Los valores serepiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una
determinada potencia de i , se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la
potencia equivalente a la dada.
i22

i22

= (i4)5 ·

i2

= − 1

i27 =

−i

1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo


Expresión de un número complejo en forma polar.
Sean r y coordenadas polares del punto (x,y) que corresponde a un número
complejo no nulo
.
Z puede ser expresado en forma polar como:
En análisis complejo, no se admiten negativos; sin embargo, como en el cálculo,
tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos.



Expresión de un número complejo en forma exponencial



La ecuación
que define el símbolo
para todo valor real de
se conoce como...