profesor

M´todos Num´ricos (SC–854)
e
e
Soluci´n de ecuaciones no lineales
o
c M. Valenzuela 2007–2008
(5 de mayo de 2008)

1.

Definici´n del problema: ra´
o
ıces de ecuaciones no lineales
Dadauna ecuaci´n de una variable independiente x,
o
f (x) = 0,

(1)

se desea encontrar el valor o valores de x que hacen que se cumpla la igualdad, donde en
general, f es una funci´n no lineal dex, es decir, que no puede expresarse como f (x) =
o
c0 +c1 x donde c0 y c1 son constantes. A los valores de x que hacen que se cumpla la igualdad
se les denomina ra´ces de la ecuaci´n 1.
ı
o

2.M´todo de bisecciones sucesivas
e

El m´todo de bisecciones sucesivas comienza con un intervalo [x1 , x2 ] donde se sabe que
e
existe una ra´ de la ecuaci´n, y por lo tanto se debe cumplirque
ız
o
f (x1 )f (x2 ) < 0.

(2)

Este intervalo se divide a la mitad calculando
xnueva =

x1 + x2
.
2

(3)

ız
Si f (x1 ) · f (xnueva ) < 0 se sabe que una ra´ se encuentra en elintervalo (x1 , xnueva ) y se
ız
puede continuar el algoritmo sustituyendo x2 por xnueva . En caso contrario, la ra´ debe
caer en el intervalo (x2 , xnueva ) y el algoritmo puede continuarsesustituyendo x1 por xnueva .
En la figura 1 se muestra un ejemplo de la forma en que trabaja el m´todo de bisecciones
e
sucesivas.

3.

Punto fijo (iteraci´n simple)
o

En el m´todo de punto fijo, laecuaci´n f (x) = 0 se transforma a la forma g(x) = x, y
e
o
´sta se utiliza como una regla recursiva, es decir,
e
x(t + 1) = g (x(t)) .

(4)

x ← g(x)

(5)

o lo que es lo mismo
En la figura3 se muestra un ejemplo de la forma en que trabaja el m´todo de punto fijo.
e
El m´todo de iteraci´n simple converge converge a una ra´ r de la ecuaci´n g(x) = x si
e
o
ız
o
g(x) y g (x) soncontinuas en un intervalo alrededor de r, si
g (x) < 1,

(6)

o
e
o
para todo ese intervalo, y si x1 se escoge en ese intervalo. N´tese que ´sta es una condici´n
suficiente, pero no necesaria....