Profesor

Docente: Juannin Pajuelo Mallqui
RESOLUCION DE EJERCICIOS POR CAPACIDADES

3. Determine el número de palitos que son necesarios para formar la figura 20.

I. RAZONAMIENTO MATEMATICO 1. Demuestreel enunciado aplicando inducción matemática:
n(n+1)(2n+1) 6 n(n+1)(2n+1) 2 2 2 2  P(n) = 1 +2 +3 +... +n = 6 1(1+1)(2.1+1) Si n  1  12 = 6 n(n+1)(2n+1)  12 +22 +32 +... +n2 +(n+1)2 = +(n+1)2 6n(n+1)(2n+1)+6(n+1)2 = 6 12 +22 +32 +... +n2 =

...
Fig 3 Fig 1 Fig 2 2 Fig 1 = 3  (1 + 1) – 1 = 4 – 1 = 3 Fig 2 = 8  (2 + 1)2 – 1 = 9 – 1 = 8 Fig 3 = 15  (3 + 1)2 – 1 = 16 – 1 = 15 Fig 20 = ? (20 + 1)2 – 1 = 212 – 1 = 441 – 1 = 440  Fig 20 = 440 palitos 4. Evalúa la fracción continua simple: [3; 4; 7; 4; 8]
A 3 4 7 1 1 1 4 1 8

Factorizando

(n+1) n(2n+1)+6n+6 = 6 2 (n+1)(2n+7n+6) = 6 (n+1)(n+2)(2n+3) = 6

2.

Si a + b + c = 1; donde a; b; c > 0. Demuestre:
(1  a)(1  b)(1  c)  8abc

Si: a  b  c  1  a  c  1  b
a  b  1  c 

b  c  1  a Resolviendo: 32  1 33 1 8 1ro :    33 33 8 8 8 8 231  8 239 1 33 2do : 7      239 239 33 33 33 33 33 956  33 989 1 239 3ro : 4      239 239 239 989 989 239
4to : 3 

Luego:

(1 a)(1  b)(1  c)  b  c a  c a  b 

 b  c  a  c a  b   8abc

 La fracción es: 3206 989

239 2967  239 3206   989 989 989

Por Teorema de Cauchy:

a  b  2 a  c  2 b  c   2

III. RESOLUCION DE PROBLEMAS 5. Resuelve la siguiente inecuación:

ab ac bc

(22x 3 )(24  x ) x 1 2x  3  2 25x 1
Resolución
 (22x 3 )(24  x )  2x13   2 x  25x1  

Luego multiplicando de miembro a miembro:
(a  b) b  c  a  c   8 ab ac bc
(a  b) b  c a  c   8 abc

2
L.q.q.d

2x  3    4  x 

Entonces:

(1  a)(1  b)(1  c) 8abc

25x 1

2

2x  3 x 1



2x  3 22x 3  4  x  2 x 1 25x 1

II. COMUNICACION MATEMATICA:

2x  3 2x  3 2x 1 x 1  5x 1  2 x 1  2     2 x 1 25x 1

2x ...