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DETERMINANTES

UNIDAD 3

P ágina 76
Determinantes de orden 2
Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes:
 2x + 3y = 29
a) 
 3x – y = 5

 5x – 3y = 8
b) 
 –10x + 6y = –16

 4x + y = 17
c) 
 5x + 2y = 19

 9x – 6y = 7
d) 
 – 6x + 4y = 11

 18x + 24y = 6
e) 
 15x + 20y = 5

 3x + 11y= 128
f) 
 8x – 7y = 46

a)

2x + 3y = 29 

3x – y = 5 

 3 –1  = –11 ≠ 0
23

Solución: x = 4, y = 7
b)

5x – 3y = 8 

–10x + 6y = –16 

 –10 6  = 0.

c)

4x + y = 17 

5x + 2y = 19 

5 2 = 3 ≠ 0

5

–3

Solución: x =

8
3
+ λ, y = λ
5
5

41

Solución: x = 5, y = –3

d)

9x – 6y = 7 

–6x + 4y = 11 

 –6 4  = 0.

e)18x + 24y = 6 

15x + 20y = 5 

 15 20  = 0

Solución: x =

f)

Incompatible

18 24

1
4
– λ, y = λ
3
3

3x + 11y = 128 

8x – 7y = 46 

Unidad 3. Determinantes

9 –6

8



3 11
1 402
886
= –109 ≠ 0. Solución: x =
, y=
–7
109
109
1

P ágina 77
Determinantes de orden 3
Queremos calcular todos los posibles productos (de tres factores) en los queintervengan un elemento de cada fila y uno de cada columna de esta matriz:

()
693
258
471

a) Averigua cuántos productos hay y calcula todos ellos.
b) Hazlo de nuevo para una matriz 3 × 3 cualquiera.

(

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

a) Hay 6 productos:

)

b)

6 · 5 · 1 = 30

3 · 5 · 4 = 60

a11 a22 a33

a13 a22 a31

2 · 7 · 3 = 42

7 · 8 · 6 = 336

a13a21 a32

a11 a23 a32

9 · 8 · 4 = 288

2 · 9 · 1 = 18

a12 a23 a31

a12 a21 a33

Determinantes de orden 4
En una matriz 4 × 4, ¿cuántos productos de 4 factores hay en los que intervengan un elemento de cada fila y uno de cada columna?

(

a11
a21
a31
a41

a12
a22
a32
a42

a13
a23
a33
a43

a14
a24
a34
a44

)

Hay 4! = 24 productos.
¿Sabrías decir, en general,en una matriz cuadrada n × n, cuántos productos
de n factores, uno de cada fila y uno de cada columna, pueden darse?
Hay n! productos.

Página 80
1. Calcula el valor de los siguientes determinantes y di por qué son cero algunos
de ellos:
a)

 4 2

a)

 4 2 = 2

13 6

b)

 4 –2 

13 6

Unidad 3. Determinantes

13 6

c)

 11 0 
10

d)

b)

7

7 –2
–2

e)

 21 77 
3 11

f)



–140 7
60 –3

 4 –2  = –50
13 6

2



c)

 11 0  = 0,

d)

7

e)

 21 77  = 0,

f)



10

porque tiene una columna de ceros.



7 –2
= 0, porque tiene sus dos filas iguales.
–2
3 11

porque sus filas son proporcionales: (1-) · 7 = (2-)
ª
ª



–140 7
= 0, porque sus dos columnas son proporcionales:(2-) · (–20) = (1-)
ª
ª
60 –3

2. Calcula el valor de los siguientes determinantes teniendo en cuenta estos datos:
A=

a)

l m

a)

l

np

np
m

n

lm
np

c)

A  = –13

n

l 4m
4p



d) A –1

 = –  n p  = –(–13) = 13

b) 6A =
c)

b) 6A 

()

lm

 6n





lm
6l 6m
=6·6
np
6p



lm
l 4m
=4
np
4p

 = 36 · (–13)= –468

 = 4 · (–13) = –52

d) A · A –1 = A · A –1 = 1 → A –1 =

1
1
1
=
=–
|A|
–13
13

Página 81
1. Calcula los siguientes determinantes:




514
a) 0 3 6
968




514
a) 0 3 6 = –114
968







90
b) –1 1
02

3
0
1

90
b) –1 1
02

3
0 =3
1

2. Halla el valor de estos determinantes:













0 4 –1
a)1 2 1
30 1

b)

0 4 –1
a) 1 2 1 = 14
301

10 47 59
b) 0 10 91 = 1 000
0 0 10

Unidad 3. Determinantes

10 47 59
0 10 91
0 0 10

3

P ágina 83
3. Justifica, sin desarrollar, estas igualdades:






3 –1 7
a) 0 0 0 = 0
1 11 4

b)



741
c) 2 9 7 = 0
27 94 71






41
7
29
1 =0
– 8 –2 –14



45 11 10
d) 4 1 1 = 0
510

a) Tiene una...