Profesor

ORDEN EN R

I.-DESIGUALDADES:
Definición: se conoce con el nombre de desigualdad
a toda proposición donde aparece la relación “<” (es
menor que) “>” (es mayor que) “≤” (es menor oigual
que) “≥” (es mayor o igual que), definidas de la siguiente manera para a, b y c ∈ R.

1) Si a > 0 ↔ a es positiva
2) Si a < 0 ↔ a es negativa
3) Si a > b ↔ a-bes positiva
4) Si a < b ↔ a-b es negativa
5) Si a ≤ b ↔ a < b ∨ a=b
6) Si a ≥ b ↔ a > b ∨ a=b
7) Si a < b < c↔ (a < b) ∧ (b < c)
8) Si a <b ≤ c ↔ [ a < b ∧ ( b < c ∨ b=c)]

II.- TEOREMAS RELATIVOS A DESIGUALDADES
T.1 para a, b ∈ R se cumple:
a) a < b ↔ a-b < 0
b) a < 0 ↔ -a > 0
c)a > 0 ↔ -a < 0
T.2 la suma y el producto de números positivos en R,
Es positivo esto es:
a) a+ b > 0
a > 0 ∧ b > 0 →b) a . b > 0

T.3 si a>0 y b<0 ó a<0 y b>0 entonces a.b <0
T.4 la suma de dos números negativos es negativo
pero el producto dedos números negativos es
positivo; esto es:
a) a+ b < 0
a < 0 ∧ b <0 →
b) a . b > 0

T.5 ∀ a≠0 enR , se tiene a2> 0
T.6 ∀ a≠0 entonces a-1 tiene el mismo signo que a,
Es decir:
a) a > 0 → a-1 > 0
b) a < 0 → a-1 < 0
T.7 ∀ a, b, c y d en R, secumple que:
Si a < b y c<d → a+c< b+d
T.8 ∀ a, b y c en R, además a+c < b+c→ a < b
(propiedad cancelativa de la adición)
T.9 ∀ a, b y c en R, se cumple; a< b y c < 0 ↔ ab > bc
O si a > b y c < 0 ↔ ab < bc
T.10 si a y b en R, tienen el mismo signo y si
a < b → 1 a > 1 b
T.11 ∀ a, b y c en R, se...