Profesora de matematicas

Sistemas axiomáticos
José Antonio Gómez Di Vincenzo

Antes de pasar a enumerar los componentes de un sistema axiomático y sus propiedades, nos parece importante introducir una breve digresión para explicar qué es un sistema axiomático, cómo funciona y por qué es una herramienta importante para la construcción de conocimiento científico.
Tanto los intelectuales lógicos como los matemáticos sehan esforzado por presentar ambas ciencias formales como sistemas de argumentos deductivos en los que algunos enunciados son tomados como punto de partida y los demás, son obtenidos a partir de estos mediante reglas de inferencia. Aquellos enunciados tomados como punto de partida son los axiomas. Si los axiomas son verdaderos entonces, los enunciados que se deducen a partir de ellos también loson. Llamamos sistema axiomático a un conjunto de enunciados o proposiciones tales que algunos de ellos llamados axiomas o postulados son tomados como punto de partida supuestamente verdaderos y que no se demuestran para deducir otros llamados teoremas, mediante la aplicación de las reglas de inferencia que garantizan que si los axiomas son verdaderos los teoremas también lo serán. Siguiendo aAristóteles, si no se tomaran ciertos enunciados como punto de partida caeríamos en una suerte de regresión al infinito o círculo vicioso puesto que siempre necesitaríamos un enunciado anterior al cual apelar, para justificar el que estamos considerando.
Los orígenes de este método pueden rastrearse hasta la época clásica en la que se pretendía presentar las teorías referidas a objetos o entidades comoun sistema puramente deductivo. Este es el ideal que recoge Aristóteles cuando expone su concepción de la ciencia demostrativa.
La concepción contemporánea del método axiomático presenta algunos cambios en relación a la concepción tradicional derivada del modelo aristotélico. Hoy no se exige que el significado de los términos y la verdad de los axiomas sean evidentes. Tampoco los términos y lasproposiciones deben referirse a un dominio de entidades observables. Se admite la construcción de sistemas axiomáticos formales, abstractos no interpretados que son aquellos en los que los términos primitivos no tienen asignados un significado. Recordemos que si los términos primitivos de un sistema axiomático tienen asignado un significado, como por ejemplo el sistema de Peano para la aritmética,entonces estamos frente a un sistema axiomático interpretado.
Ahora bien, una interpretación para un sistema axiomático formal es una función que asigna significado a los términos primitivos del sistema en cuestión y al hacerlo, asigna indirectamente significado a los términos definidos. Se trata de encontrar un dominio de objetos de tal manera que esos objetos puedan ser los designados por lostérminos primitivos. Al establecer reglas de designación, hacemos que a cada término primitivo del sistema le correspondan una y sólo una designación. De este modo, los axiomas del sistema se transforman en proposiciones que pueden ser verdaderas o falsas. Cuando la interpretación hace verdadera a todos los axiomas del sistema, entonces, se constituye un modelo de dicho sistema aximático. Si existeal menos un modelo para el sistema, entonces, es satisfacible; si no tiene ningún modelo es insatisfacible.
Según la concepción contemporánea, los sistemas axiomáticos constan de los siguientes componentes:

Un conjunto de términos primitivos que se introducen sin ser definidos.
Un conjunto de términos introducidos por medio de una definición llamados términos definidos. Por ejemplo: podemosdefinir triángulo como aquella figura cerrada de tres ángulos.
Aquí es interesante detenernos para hacer un rodeo, antes de continuar enumerando los componentes de los sistemas axiomáticos y mostrar cómo, nuevamente, podemos caer en una suerte de círculo vicioso si no aceptamos que existan términos sin definir. Puesto que siempre al definir un término necesitamos apelar a otros términos, si...