Progra real

Apuntes sobre Subgrupos y el Teorema de
Lagrange
J. Armando Velazco
24 de junio de 2012

Cap´
ıtulo 1

Subgrupos
1.1.

Subgrupos

Definici´n Sea (G, ·) un grupo. Sea ∅ = H ⊆ G. Se dice que H es un subgrupo
o
si H es un grupo con respecto a la operaci´n · en G. Se denotar´ por H ≤ G si
o
a
H es subgrupo de G. Adem´s, si H ⊂ G se dir´ entonces que H es un subgrupo
a
a
propio deG y se denotar´ por H < G
a
Observaci´n Todo grupo G posee dos grupos llamados triviales {e} y desde
o
luego, G mismo. En algunos textos son llamados tambi´n grupos impropios de
e
G.
Definici´n Un subgrupo H = {e} es un subgrupo minimal de G si no existe
o
un subgrupo no trivial J contenido en H. Un subgrupo H = G es un subgrupo
maximal si H no est´ contenido en otro subgrupo propio K deG.
a
Para ver si un conjunto H ⊆ G es un subgrupo tenemos a nuestra disposici´n
o
el siguiente
Teorema 1.1.1 Un subconjunto H de un grupo G es un subgrupo de G si y
solo si:
i) H es cerrado bajo la operaci´n binaria · en G.
o
ii) El elemento identidad e ∈ G pertenece tambi´n a H.
e
iii) Para todo x ∈ H se tiene que x−1 ∈ H
Demostraci´n ⇒) Es inmediato de la definici´n de subgrupo.
oo
⇐) Como H debe ser un grupo en si mismo, vemos que al cumplirse las
condiciones i), ii) y iii) nos resta solo probar la asociatividad de la operaci´n:
o
como H ⊆ G en particular se tiene que para todo x, y, z ∈ H se cumple que
x · (y · z) = x · (y · z)

1

A menudo, podemos probar que un determinado conjunto H ⊆ G es un
subgrupo mediante el siguiente
Teorema 1.1.2 Un subconjunto H esun subgrupo de un grupo G si H = ∅ y
para todos x, y ∈ H se tiene que x · y −1 ∈ H.
Demostraci´n Sea x ∈ H, tal elemento existe pues H = ∅ por hip´tesis,
o
o
adem´s, tenemos entonces que e = x · x−1 ∈ H. As´ para todo y ∈ H tenemos
a
ı,
que y = e · y lo que implica que y −1 ∈ H Por ultimo, resta probar la cerradura
´
de la operaci´n ·: Para ello considere que y = (y −1 )−1 y por lotanto para
o
x, y −1 ∈ H tenemos que x · (y −1 )−1 = x · y ∈ H.

Corolario 1.1.3 Sea H = ∅ un subconjunto de un grupo G finito, entonces
H ≤ G si para todo x, y ∈ H se tiene que x · y ∈ H.
Demostraci´n Por hip´tesis H = ∅ y H es cerrado bajo la operaci´n ·, entono
o
o
ces tenemos que para alg´n x ∈ H se cumple e = xk ∈ H para alg´n k ∈ N, pues
u
u
el grupo G es finito. M´s a´n, por la finitudde G se tiene esto para cualquier
a u
x ∈ H. As´ sin perdida de generalidad, tomando un x ∈ H arbitrario tenemos
ı,
que xk−1 = x−1 ∈ H. Por lo tanto H es un subgrupo.

¿ C´mo formar un subgrupo a partir de 2 subgrupos dados? de manera
o
natural se tiene el siguiente
Lema 1.1.4 Sean H ≤ G y K ≤ G entonces (H ∩ K) ≤ G.
Demostraci´n Por hip´tesis H ∩ K = ∅, de la definici´n de intersecci´nde
o
o
o
o
conjuntos es claro que ∀x, y ∈ H ∩ K se tiene que xy ∈ H ∩ K y x−1 ∈ H ∩ K.

A partir del lema anterior podemos afirmar entonces que
Teorema 1.1.5 Sea Hi , i ∈ N una familia de subgrupos de un grupo G. Entonces ∩i∈N Hi es tambi´n un subgrupo. M´s a´n esto es v´lido para cualquier
e
a u
a
conjunto de ´
ındices I.
Demostraci´n Inmediato, solo hay que verificar las propiedadesde un subo
grupo.

2

Ejemplo El 4-grupo de Klein, usualmente denotado por V debido a su nombre
en alem´n vierergrouppe es el siguiente:
a
V = {e, a, b, c}
Este grupo posee 3 subgrupos propios no triviales, desde luego, e denota al
elemento identidad:
{e, a}, {e, b}, {e, c}
A continuaci´n se muestra la tabla de grupo
o
·
e
a
b
c

e
e
a
b
c

a
a
e
c
b

b
b
c
e
ac
c
b
a
e

Observe que en este grupo cada elemento es su propio inverso. Adem´s, cada
a
subgrupo consta de s´lo 2 elementos: ¿porqu´, por ejemplo, el conjunto {e, a, b}
o
e
no puede ser subgrupo? no puede ser subgrupo debido a que tal subconjunto
no es cerrado bajo la operaci´n definida en V . Como nota curiosa, podemos
o
decir que si en esta estructura de subgrupos se definiera...