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Páginas: 5 (1010 palabras)
Publicado: 6 de octubre de 2012
INTRODUCCION
La integración de Romberg es una técnica diseñada para obtener integrales numéricas de funciones de manera eficiente, que se basa en aplicaciones sucesivas de la regla del trapecio. Sin embargo, a través de las manipulaciones matemáticas, se alcanzan mejores resultados con menos trabajo.
Desafortunadamente en la mayoría de los casos prácticos es muy difícil o aun imposible hallaruna antiderivada de f(x). En estos casos el valor de la integral debe de aproximarse. Esto puede lograrse de las siguientes maneras:
Serie de potencias.
Método gráfico.
Métodos numéricos.
Para realizar el cálculo de una integral definida por modelos ó métodos numéricos, además de aplicar la regla Trapezoidal o Rectangular con segmentos cada vez más pequeños, otra manera de obtener unaestimación más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo si hay un punto medio extra entre f (a) y f (b) , entonces se puede conectar los tres puntos con una parábola. A las formulas resultantes para calcular la integral bajo estos polinomios se llama Reglas de SIMPSON.
Dicho de otra manera se dice que para cada aplicación de laregla de SIMPSON se
1 CHAPRA Steven. Canale Raymond. Metodos numericos para ingenieros. Pag 415.McGraw – Hill requieren dos subintervalos, a fin de aplicarla n número de veces, deberá dividirse el intervalo (a,b) en un número de subintervalos o segmentos.
Cada subintervalo sucesivo se aproxima por un polinomio de segundo grado (parábola) y se integra de tal manera que la suma de las áreas de cadasegmento de la parábola
Sea la aproximación a la integración deseada.
EL ALGORITMO DE INTEGRACIÓN DE ROMBERG.
Observe que los coeficientes en cada una de las ecuaciones de extrapolación suman 1. De esta manera, representan factores de ponderación que, conforme aumenta la exactitud, dan un peso relativamente mayor a la mejor estimación de la integral. Estas formulaciones seexpresan en una forma general muy adecuada para la implementación en computadora:
Donde 1ʲ+1k-1 eIjk-1 = las integrales más y menos exactas, respectivamente; e Ijk=Ia integral mejorada. El subíndicek significa el nivel de la integración donde k=1 corresponde a la estimación original con la regla del
trapecio, k=2corresponde a 0(h⁴), k=3 a 0(h⁶) y asi sucesivamente. El subíndice j se usapara distinguir entre las estimaciones mas (j+1) i meno (j) exactas. Por ejemplo, con k=2 y j =1, la ecuación (22.8) se convierte en
INTEGRALES DE ROMBERG
La forma general representada por la ecuación se atribuye a Romberg, y su aplicación sistemática para evaluar integrales se denomina integración de Romberg. La figura 22.3 es una representación grafica de la sucesión y estimaciones de laintegral generadas usando este procedimiento. Cada matriz corresponde a una sola iteración.
La primera columna contiene las evaluaciones de la regla del trapecio, designadas por I j,1 , donde j=1 indica una aplicación con un solo segmento (el tamaño de paso es b-a) , j=2 corresponde a una aplicación con dos segmentos [el tamaño de paso es (b-a)/2], j=3 corresponde a una aplicación de cuatrosegmentos [el tamaño de paso es (b-a)/4], y así sucesivamente. Las otras columnas de la matriz se generan mediante la aplicación sistemática de la ecuación para obtener sucesivamente mejores estimaciones de la integral.
Si TN.1es el valor calculado de la integral (en donde 2N corresponde al número de intervalos los de 1 es el orden del polinomio de interpolación usado):
Usado para el cálculonumérico la formula de los trapecios. T0, 1 seria el primer estimado; es decir, usando directamente las formulas de los trapecios;
T1,1 seria el estimado para dos intervalos idénticos de ancho (b-a)/2:
Simplificado,
En general:
La formula de extrapolación de Richardson puede ser utilizada para cada par de secuencia T0,1,…..TN,1. Por ejemplo:
En general,
La...
La integración de Romberg es una técnica diseñada para obtener integrales numéricas de funciones de manera eficiente, que se basa en aplicaciones sucesivas de la regla del trapecio. Sin embargo, a través de las manipulaciones matemáticas, se alcanzan mejores resultados con menos trabajo.
Desafortunadamente en la mayoría de los casos prácticos es muy difícil o aun imposible hallaruna antiderivada de f(x). En estos casos el valor de la integral debe de aproximarse. Esto puede lograrse de las siguientes maneras:
Serie de potencias.
Método gráfico.
Métodos numéricos.
Para realizar el cálculo de una integral definida por modelos ó métodos numéricos, además de aplicar la regla Trapezoidal o Rectangular con segmentos cada vez más pequeños, otra manera de obtener unaestimación más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo si hay un punto medio extra entre f (a) y f (b) , entonces se puede conectar los tres puntos con una parábola. A las formulas resultantes para calcular la integral bajo estos polinomios se llama Reglas de SIMPSON.
Dicho de otra manera se dice que para cada aplicación de laregla de SIMPSON se
1 CHAPRA Steven. Canale Raymond. Metodos numericos para ingenieros. Pag 415.McGraw – Hill requieren dos subintervalos, a fin de aplicarla n número de veces, deberá dividirse el intervalo (a,b) en un número de subintervalos o segmentos.
Cada subintervalo sucesivo se aproxima por un polinomio de segundo grado (parábola) y se integra de tal manera que la suma de las áreas de cadasegmento de la parábola
Sea la aproximación a la integración deseada.
EL ALGORITMO DE INTEGRACIÓN DE ROMBERG.
Observe que los coeficientes en cada una de las ecuaciones de extrapolación suman 1. De esta manera, representan factores de ponderación que, conforme aumenta la exactitud, dan un peso relativamente mayor a la mejor estimación de la integral. Estas formulaciones seexpresan en una forma general muy adecuada para la implementación en computadora:
Donde 1ʲ+1k-1 eIjk-1 = las integrales más y menos exactas, respectivamente; e Ijk=Ia integral mejorada. El subíndicek significa el nivel de la integración donde k=1 corresponde a la estimación original con la regla del
trapecio, k=2corresponde a 0(h⁴), k=3 a 0(h⁶) y asi sucesivamente. El subíndice j se usapara distinguir entre las estimaciones mas (j+1) i meno (j) exactas. Por ejemplo, con k=2 y j =1, la ecuación (22.8) se convierte en
INTEGRALES DE ROMBERG
La forma general representada por la ecuación se atribuye a Romberg, y su aplicación sistemática para evaluar integrales se denomina integración de Romberg. La figura 22.3 es una representación grafica de la sucesión y estimaciones de laintegral generadas usando este procedimiento. Cada matriz corresponde a una sola iteración.
La primera columna contiene las evaluaciones de la regla del trapecio, designadas por I j,1 , donde j=1 indica una aplicación con un solo segmento (el tamaño de paso es b-a) , j=2 corresponde a una aplicación con dos segmentos [el tamaño de paso es (b-a)/2], j=3 corresponde a una aplicación de cuatrosegmentos [el tamaño de paso es (b-a)/4], y así sucesivamente. Las otras columnas de la matriz se generan mediante la aplicación sistemática de la ecuación para obtener sucesivamente mejores estimaciones de la integral.
Si TN.1es el valor calculado de la integral (en donde 2N corresponde al número de intervalos los de 1 es el orden del polinomio de interpolación usado):
Usado para el cálculonumérico la formula de los trapecios. T0, 1 seria el primer estimado; es decir, usando directamente las formulas de los trapecios;
T1,1 seria el estimado para dos intervalos idénticos de ancho (b-a)/2:
Simplificado,
En general:
La formula de extrapolación de Richardson puede ser utilizada para cada par de secuencia T0,1,…..TN,1. Por ejemplo:
En general,
La...
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