programa comunicaciones

Transformada de Fourier

Serie de Fourier
• Señal en el tiempo continua, 
análoga y periódica
• Espectro discreto
• Señal de potencia finita 

Transformada de Fourier
• Señal en el tiempo continua y 
análoga 
• Espectro continuo
• Señal de energía finita 

Transformada Discreta de Fourier
• Señal en el tiempo discreta y 
cuantizada
• Espectro discreto
•Señal de energía finita 

Transformada Rápida de Fourier

Transformada de Fourier
La transformada de Fourier de una función g(t) en el 
dominio del tiempo se define como:
G ( f )    g (t )  





g (t )e(  j 2 ft ) dt



La señal temporal puede obtenerse de nuevo aplicando
la transformada inversa de Fourier:
g (t )   1  G ( f )  



G ( f )e( j 2 ft ) df




La señal debeser una señal de Energia Limitada, es 
decir:






g (t ) dt  
2

Ejemplo
Transformada de fourier de un pulso cuadrado.
La función pulso cuadrado se define como:

1
t 
   
T  
0




T
T
t 
2
2

t

T T
, t
2 2
1.5

Ejemplo:

g(t)

 t 
g (t )   

1 s 


1

0.5

0
-5

-4

-3

-2

-1

0
time (s)

12

3

4

5
x 10

-6

Ejemplo
Transformada de fourier de un pulso cuadrado.



1
t  
   
T  
0


T
T
 t
2
2

t
G( f )    
T

T /2


t

T T
, t
2 2



 (  j 2 ft )
dt
e


e(  j 2 ft ) dt

T /2



(  j 2 ft ) T /2

e
j 2 f

T /2

e( j tT )  e(  j fT )
G( f )  T
j 2 fT
T

2 Sin fT 
2 fT

T

Sin  fT 
 fT

 TSinc  fT 

  t 
       TSinc  fT 
  T 

Ejemplo
Transformada de fourier de un pulso cuadrado.
1.5

g(t)

1

0.5


   TSinc  fT 


0
-3

10 x 10

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0
time (s)

0.5

1

1.5

2

2.5

3
x 10

-6

-7

8
6
G(f)

 t
 
 T

4
2
0
-2
-4-5

-4

-3

-2

-1
0
1
frequency (Hz)

2

3

4

5
x 10

6

Propiedades de la Transformada de Fourier
G ( f )    g (t ) 
• Si                                 y  H ( f )    h(t ) 
las siguientes propiedades se cumplen

1. Linealidad

  g (t )  h(t )     g (t )     h(t )   G ( f )  H ( f )

2. Factor de escala

1  f 
  g (at )   G 
a a

3. Dualidad    g ( f )    G (t ) 
4. Desplazamiento en el tiempo

  g (t  t0 )   G ( f )e  j 2 ft0

Propiedades de la Transformada de Fourier
G ( f )    g (t ) 
• Si                                 y  H ( f )    h(t ) 
las siguientes propiedades se cumplen


5. Valor DC

G (0) 

 g (t )dt



6. Derivada en el tiempo

d

  g (t )   j2 fG ( f )
 dt


7. Integral en el tiempo



8. Integral de Convolución 



   g (t )h(t   )d   G ( f ) H ( f )
 






 g (t )dt 

1
G( f )
j 2 f

Propiedades de la Transformada de Fourier
G ( f )    g (t ) 
• Si                                 y  H ( f )    h(t ) 
las siguientes propiedades se cumplen

9. Integral de Correlación 

   g (t )Conj  h(t   )  d   G ( f )conj  H ( f ) 
 


10. Energía de Rayleigh 


2
   g (t )Conj  g (t   )  d   G ( f )conj  G ( f )   G ( f )
 


11.Desplazamiento en Frecuencia





 e j 2 f0t g (t )  G ( f  f 0 )

Transformada discreta de Fourier (DFT)
Para poder calcular la TF de una señal en un procesador, es necesario:
• Muestrear la señal
• Cuantizar la señal
• Truncar la señal
• Implementar versiones digitales de las 
operaciones matemáticas involucradas (lo que 
puede introducir errores de truncamiento, 
etc)

Señal Continua – Señal Discreta
• Una señal continua está
definida para todo tiempo t
dentro de un intervalo

• Una señal discretizada está 
definida sólo en intervalos ...