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Apuntes de Cálculo avanzado
Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos

Jerónimo Alaminos Prats
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de Granada

Cálculo
Avanzado
Departamento
de
Análisis Matemático

Índice

1 Números complejos 3
1.1 El cuerpo de los números complejos 4 1.2 Representación gráfica. Conjugado y módulo de
un número complejo 6 1.3 Forma polar y argumentosde un número complejo 7 1.4 Conjuntos en el plano complejo. Un poco de topología 11 1.5 Sucesiones de números complejos 12
1.6 Series de números complejos 13 1.7 Ejercicios 15
2
2.1
2.3
fas

Funciones complejas 21
Continuidad y límite funcional 21
Ecuaciones de Cauchy-Riemann 23
24 2.5 Ejercicios 26

2.2 Derivada de una función de variable compleja 22
2.4 Primeras propiedades de lasfunciones holomor-

3 Funciones complejas elementales 29
3.1 La función exponencial 29
3.2 Logaritmos complejos 30
3.3 Potencias complejas 31
3.4 Funciones trigonométricas complejas 32 3.5 Funciones trigonométricas inversas 32 3.6 Ejercicios 34
4 Series de potencias. Funciones analíticas 39
4.1 Sucesiones y series de funciones 39
4.2 Series de potencias complejas 40
cios 42

4.3 Ejerci-5 Integración de funciones complejas 45
5.1 Integración de funciones de variable real con valores complejos 45 5.2 Curvas en el plano 45
5.3 Integral curvilínea 47 5.4 Ejercicios 49
6 Fórmula de Cauchy. Teorema de los residuos 51
6.1 Índice de un punto respecto de un camino cerrado 52 6.2 Forma general del Teorema de
Cauchy y de la fórmula integral de Cauchy 54 6.3 Singularidadesaisladas. Teorema de los residuos 55 6.4 Aplicaciones del teorema de los residuos al cálculo de integrales 58 6.5 Aplicación
del teorema de los residuos a la suma de series 64 6.6 Ejercicios 66
7 Series de Fourier 69
7.1 Introducción 69 7.2 Fenómenos periódicos 69 7.3 Un poco de historia 71 7.4 Series de
Fourier 75 7.5 Propiedades de las series de Fourier 83 7.6 Sobre los coeficientes de Fourier 847.7 Convergencia de las series de Fourier 85
7.8 Otras propiedades 88
7.9 Sumabilidad.
Núcleos de Fejér. 90 7.10 Aplicaciones de las series de Fourier 91 7.11 Ejercicios 94
8 Transformada de Fourier 99
8.1 Origen histórico de la transformada de Fourier 99
8.2 Definición de la transformada de
Fourier 100 8.3 Propiedades de la transformada de Fourier 102 8.4 Convolución de funciones 103 8.5Ejercicios 104
9 Transformada de Laplace 107
9.1 Definición 107 9.2 Propiedades de la transformada de Laplace 108
caciones 110 9.4 Ejercicios 111

–1–

9.3 Ejemplos y apli-

10 Transformada discreta de Fourier 113
10.1 Muestreo de señales continuas 113
10.2 Reconstrucción de una señal 115
Teorema de Shannon 116 10.4 La transformada de Fourier discreta 118
A Tablas de transformadas deFourier y Laplace 121
A.1 Transformadas de Laplace 121
Índice alfabético 123

–2–

10.3 El

Números complejos

Números complejos
1
1

Introducción
Los números que hoy llamamos “complejos” fueron durante muchos años motivo de polémicas y
controversias entre la comunidad científica. Poco a poco, por la creciente evidencia de su utilidad,
acabaron por ser comúnmente aceptados, aunqueno fueron bien comprendidos hasta épocas recientes. Nada hay de extraño en ello si pensamos que los números negativos no fueron plenamente
aceptados hasta finales del siglo XVII.
Los números complejos hacen sus primeras tímidas apariciones en los trabajos de Cardano (1501–
1576) y Bombelli (1526–1672) relacionados con el cálculo de las raíces de la cúbica o ecuación de
tercer grado. Fue RenéDescartes (1596–1650) quien afirmó que “ciertas ecuaciones algebraicas
sólo tienen solución en nuestra imaginación” y acuñó el calificativo imaginarias para referirse a
ellas. Desde el siglo XVI hasta finales del siglo XVIII los números complejos o imaginarios son
usados con recelo, con desconfianza. Con frecuencia, cuando la solución es un problema resulta
ser un número complejo se...