Programación lineal
Introducción a la Programación Lineal
1.1 Modelo de Programación Lineal con dos variables
Ejemplo: (La compañía Reddy Mikks)
Reddy Mikks produce pinturas para interiores y exteriores, M1 y M2. La tabla
siguiente proporciona los datos básicos del problema
Producto
Pinturas para
Pinturas para
Disponibilidad
exteriores
interiores
diaria máxima
Componente(toneladas)
Materia prima, M1
6
4
24
Materia prima, M2
1
2
6
Utilidad por toneladas
5
4
(miles de $)
Una encuesta de mercado indica que: la demanda diaria de pintura para
interiores no puede ser mayor que 1 tonelada más que la pintura para exteriores.
También, que la demanda máxima diaria de pintura para interiores es de 2
toneladas.
Reddy desea determinarla mezcla óptima (la mejor) de productos para
exteriores y para interiores que maximice la utilidad diaria total.
El modelo de programación lineal, como en cualquier modelo de
investigación de operaciones, tiene tres componentes básicos:
• Las variables de decisión que se trata de determinar
• El objetivo (la meta) que se trata de optimizar
• Las restricciones que se deben satisfacerDefinimos las variables:
x1=toneladas producidas diariamente, de pintura para exteriores
x2=toneladas producidas diariamente, de pintura para interiores
Para formar la función objetivo, la empresa desea aumentar sus utilidades
todo lo posible. Si Z representa la utilidad diaria total (en miles de dólares), el
objetivo de la empresa se expresa así:
Maximizar Z=5x1+4x2
A continuación se definenlas restricciones que limitan el uso de las
materias primas y la demanda:
(uso de la materia prima para ambas pinturas)=(disponibilidad máxima
de materia prima)
Según los datos del problema:
Uso de la materia prima M1, por día = 6x1+4x2 toneladas
Uso de la materia prima M2, por día = 1x1+2x2 toneladas
Ya que la disponibilidad de las materias primas M1 y M2 se limita a 24 y 6
toneladas,respectivamente, las restricciones correspondientes se expresan:
6x1+4x2≤24
(materia prima M1)
x1+2x2≤6
(materia prima M2)
La primera restricción de la demanda indica que la diferencia entre la
producción diaria de pinturas para interiores y exteriores, x2-x1, no debe ser
mayor que 1 tonelada, y eso se traduce en: x2-x1≤1. La segunda restricción de
la demanda estipula que la demandamáxima diaria de pintura para interiores
se limita a 2 toneladas, y eso se traduce como: x2≤2.
Una restricción implícita (o “que se sobreentiende”) es que las variables x1 y
x2 no pueden asumir valores negativos. Las restricciones de no
negatividad:
x1≥0
y
x2≥0.
El modelo de Reddy Mikks completo es:
Maximizar:
Z = 5x1 + 4 x2
Sujeto a:
6 x1 + 4 x2 ≤ 24
x1 + 2 x2 ≤ 6
−x1 + x2 ≤ 1
x2 ≤ 2
x1 , x2 ≥ 0
EJEMPLOS INICIALES DE PROGRAMACION LINEAL
1.
Una firma industrial elabora dos productos, en las cuales entran cuatro
componentes en cada uno. Hay una determinada disponibilidad de cada
componente y un beneficio por cada producto. Se desea hallar la cantidad de
cada artículo que deba fabricarse, con el fin de maximizar los beneficios. El
siguientecuadro resume los coeficientes de transformación. O sea la cantidad
de cada componente que entra en cada producto.
Producto
P
1
P2
Componente
Disponibilidad
(kilogramos)
A
1
3
15 000
B
2
1
10 000
C
2
2
12 000
D
1
1
10 000
Beneficios
4
3
US$Unidad
Solución
x1 = Nº de Unidades de Producto
P
1
x2 = Nº de Unidades deProducto
P2
Dado que x1 y x2 pueden tomar distintos valores reciben el nombre de
"variables".
Analizando ahora el componente A del cuadro de coeficientes de
transformación se tiene:
Si en una unidad del Producto P1 entra 1 Kg. Del componente A, en x1
unidades de P2 entrarán.
[1]
⎛ Kg de componente ⎞
⎜
⎜ 1Unidad de P ⎟ x1
⎟
⎝
⎠
1
(Unidades de P1 )
y para el producto P2...
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