Programación Lineal

Problema 1

En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado solo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo I con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo II con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo I es de 10 eurosy el del tipo II es de 30 euros. Se pregunta:

¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

Solución
Matriz de Información
Tipos de Alimentos | Sustancia A | Sustancia B | Costo |
Tipo I | 1 | 5 | 10 |
Tipo II | 5 | 1 | 30 |

Definición de variables
X1 = Alimentos Tipo I
X2 = Alimentos Tipo II
Función Objetivo
Zmin=10X1 + 30X2Restricciones
Sustancia | X1 | X2 | Mínimo |
A | 1 | 5 | 15 |
B | 5 | 1 | 15 |

X1 + 5X2 ≥15
5X1 + X2 ≥15
X1 ≥0
X2 ≥0

Método grafico
X1 + 5X2 = 15
5X2 + X1 = 15

La intercepción se da en el punto (5/2, 5,2)

La solución se da en:
Zmin=10X1 + 30X2
Zmin (0,15) = 10 . 0 + 30 . 15 = 450
Zmin (15,0) = 10 . 15 + 30 . 0 = 150
Zmin ( 5/2, 5/2) = 10 . 5/2 + 30 . 5/2 = 100

El costominino seria de 100 euros.

Problema 2
Disponemos de 210,000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A que rinden el 10% y las de tipo B que rinde el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130,000 euros en las de tipo A y, como mínimo, 6 000 euros en las de tipo B. Además, queremos que la inversión en las del tipo A sea menor o igual que eldoble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener máximo interés anual?
Solución
Definición de variables
X1 = Inversión de acciones tipo A
X2 = Inversión de acciones tipo B
Restricciones
X1 + X2 ≤ 210000
X1 ≤ 130000
X2 ≥ 6000
X1 – 2X2 ≤ 0
X1 , X2 ≥ 0
Función objetivo
Zmax = 0.1 X1 + 0.08 X2
Método Grafico

Del grafico reemplazamos losvalores de la grafica en nuestra función objetivo para hallar el valor máximo
Zmax = 0.1 X1 + 0.08 X2
Z (0,0) = 0.1 x 0 + 0.08 x 0 = 0
Z (0, 210000) = 0.1 x 0 + 0.08 x 210000 = 16800
Z (210000, 0) = 0.1 x 210000 + 0.08 x 0 = 21000
Z (130000, 80000) = 0.1 x 130000 + 0.08x 80000= 19400
Z (204000,6000) = 0.1 x 204000 + 0.08x 6000 = 20880
Z (14000,70000) = 0.1 x 14000 + 0.08x 70000 =19600
Z(130000, 0) = 0.1 x 130000 + 0.08 x 0 = 13000
Z (130000, 6000) = 0.1 x 130000 + 0.08 x 6000 = 13480
Z (130000, 65000) = 0.1 x 130000 + 0.08 x 65000= 18200
Z (0, 6000) = 0.1 x 0 + 0.08 x 6000 = 480
Z (12000, 6000) = 0.1 x 12000 + 0.08 x 6000 = 1680
La cuarta opción es la que respeta todas las restricciones del problema y además da la mejor rentabilidad
Z (130000, 80000) = 0.1 x 130000 +0.08x 80000= 19400

Problema 3
Cierto fabricante produce dos artículos, A y B, para lo que requiere la utilización de dos secciones de producción: sección de montaje y sección de pintura.
El artículo A requiere una hora de trabajo en la sección de montaje y dos en la de pintura; y el artículo B, tres horas en la sección de montaje y una hora en la de pintura.
La sección de montaje solopuede estar en funcionamiento nueve horas diarias, mientras que la de pintura solo ocho horas cada día. El beneficio que se obtiene produciendo el artículo B es de 40 euros y el de A es de 20 euros.
Calcula la producción diaria de los artículos A y B que maximiza el beneficio.
Solución
Definición de variables
X1 = Artículos A
X2 = Artículos B
Matriz de Información
Articulo |Cantidad | Montaje | Pintura | Beneficio |
A | X1 | X1 horas | 2X1 horas | 20 X1 |
B | X2 | 3X2 horas | X2 horas | 40 X2 |
Total | | X1 + 3X2 | 2X1 + X2 | 20X1 + 40X2 |

Restricciones
X1 + 3X2 ≤ 9
2X1 + X2 ≤ 8
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
Función Objetivo
Zmax = 20 X1 + 40 X2

Método Grafico

El máximo se alcanza en el punto (3,2)
Reemplazando en nuestra función objetivo
Zmax = 20 X1 + 40 X2...