Programacion Lineal Con Dos Variables

Problemas de programación lineal con dos variables.
Un problema de programación lineal con dos variables tiene por finalidad optimizar (maximizar o minimizar) una función lineal:

llamada función objetivo, sujeta a una serie de restricciones presentadas en forma de sistema de inecuaciones con dos incógnitas de la forma:

Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.El conjunto intersección de todos esos semiplanos recibe el nombre de zona de soluciones factibles. El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o mínima según el caso). El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se llama valor del programa lineal.El procedimiento a seguir para resolver un problema de programación lineal en dos variables será, pues:
* Elegir las incógnitas.
* Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.
* Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.
* Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las restricciones.
* Calcular lascoordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son pocos).
* Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no es acotado).
Veamos a continuación una colección de ejemplos resueltos:PROBLEMA #1  Minimizar la función f(x, y)=2x+8y sometida a las restricciones:

Llamando, respectivamente r, s y t a las rectas expresadas en las tres últimas restricciones, la zona de soluciones factibles sería:

Siendo los vértices:
A intersección de r y t:

B intersección de s y t:

C intersección de r y s:

Siendo los valores de la función objetivo en ellos:

Alcanzándose el mínimoen el punto C.
PROBLEMA #2  Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 Bolívares cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 kgs de aluminio, y para la de montaña 2 kgs. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá?
Seanlas variables de decisión:
x= n: de bicicletas de paseo vendidas.
y= n: de bicicletas de montaña vendidas.
Tabla de material empleado:
  | Acero | Aluminio |
Paseo | 1 | 3 |
Montaña | 2 | 2 |
Función objetivo:
f(x, y)= 20.000x+15.000y      máxima.
Restricciones:

Zona de soluciones factibles:
Vértices del recinto (soluciones básicas):
A(0, 40)
B intersección de r y s:

C(40,0)Valores de la función objetivo en los vértices:

Ha de vender 20 bicicletas de paseo y 30 de montaña para obtener un beneficio máximo de 850.000 Bolívares.
PROBLEMA #3  Un autobús Caracas-Maracaibo ofrece plazas para fumadores al precio de 10.000 Bolívares y a no fumadores al precio de 6.000 Bolívares. Al no fumador se le deja llevar 50 kgs. de peso y al fumador 20 kgs. Si el autobús tiene 90plazas y admite un equipaje de hasta 3.000 kg. ¿Cuál ha de ser la oferta de plazas de la compañía para cada tipo de pasajeros, con la finalidad de optimizara el beneficio?
Sean las variables de decisión:
x= n: de plazas de fumadores.
y= n: de plazas de no fumadores.
La Función objetivo:
f(x, y)=10.000x+6.000y  máxima
Restricciones:

Zona de soluciones factibles:
Vértices:

A(0, 60) ; Bintersección de r y s:

C(90, 0)
Valores de la función objetivo:

Ha de vender 90 plazas para fumadores y ninguna para no fumadores y así obtener un beneficio máximo de 900.000 bolívares.
PROBLEMA #4 A una persona le tocan 10 millones de bolívares en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10...