programacion lineal jfa

Programación Lineal.
Introducción.
En los últimos 70 años, las empresas, cada vez mayores y complejas, han originado una
cierta clase de problemas de optimización, donde el interés radica en asuntos tales como
la manera más eficiente de manejar una economía, o cómo organizar los horarios de
vuelo de las azafatas en una compañía aérea, o la mezcla de ingredientes de un
fertilizante para satisfacerlas especificaciones agrícolas a un costo mínimo, etc. El
estudio de cómo formular y resolver tales problemas ha originado el desarrollo de
nuevas e importantes técnicas de optimización. Entre éstas encontramos la
programación lineal. El modelo de programación lineal, esto es, la optimización de una
función lineal sujeta a restricciones lineales, es sencillo en su estructura matemática,
peropoderoso por su capacidad de adaptarse a un amplio rango de aplicaciones a
problemas de la vida real.
Los problemas de programación lineal se interesan en la asignación eficiente de
recursos limitados con el ánimo de alcanzar objetivos deseados. Estos problemas se
caracterizan por el gran número de soluciones que satisfacen las condiciones impuestas
por cada problema. La selección de una soluciónconcreta, como la mejor a un
problema, dependerá de cierto objetivo implícito en el planteamiento del problema. Una
solución que satisfaga todas las condiciones del problema y además alcance el objetivo
deseado se denomina “solución óptima”.
Para poder entender bien de qué estamos hablando, vamos a empezar proponiendo una
serie de ejemplos en los que se pueda apreciar como situaciones, en aparienciamuy
diferentes, dan lugar a modelos matemáticos que son idénticos en estructura y caen
dentro de lo que se entiende por problemas de programación lineal.
Antes de empezar con los ejemplos observemos que para plantear cualquier problema
de programación lineal deberemos identificar cuatro componentes básicos:
1. Los datos del problema
2. Las variables que habremos de definir para formular elproblema, junto con sus
dominios de definición
3. Las restricciones que vienen impuestas por las condiciones del problema.
4. La función que representa el objetivo a alcanzar y que habitualmente debe ser
optimizada.
Ejemplo 1: Un problema de dieta.
Se desea añadir a la dieta de ciertos animales de granja cantidades extra de tiamina,
fósforo y hierro. Para ello en el mercado existen dos preparados en polvodiferentes:
Fosfatón y Ferroforo. Estos contienen los nutrientes en las cantidades que se indican a
continuación. Cada onza de Ferroforo contiene 0.15 mg de tiamina, 0.75 mg de fósforo
y 1.30 mg de hierro. Cada onza de Fosfatón contiene 0.10 mg de tiamina, 1.70 mg de
fósforo y 1.10 mg de hierro. Deseamos que cada animal reciba al día, al menos 1.00 mg
de tiamina, 7.50 mg de fósforo y 10.00 mg dehierro.
El costo de cada onza de Ferroforo es de 0.02 € y el de Fosfatón es de 5/3 de
céntimo de euro por onza . Determinar las cantidades de Ferroforo y Fosfatón que
debemos suministrar a cada animal de forma que el costo de este suplemento a la dieta
sea mínimo.

Sergio Estrada Domínguez
Juan Férez Alcántara
Francisco de Asís Guil Asensio

Solución:
Tal y como hemos indicado anteriormente,empezaremos identificando los cuatro
componentes básicos del problema.
En primer lugar expresamos los datos del problema en forma de tabla, lo que nos dará
una mejor perspectiva de los mismos:
Proporción de nutriente por ingrediente
___________Nutrientes__________
Ingredientes
Tiamina
Fósforo
Hierro
Ferroforo
0.15 mg/oz 0.75 mg/oz 1.30 mg/oz
Fosfatón
0.10 mg/oz 1.70 mg/oz 1.10 mg/oz

Costo de losingredientes
2 cts/oz
5/3 cts/oz

• Definición de las variables del problema:
Sean x1 y x2 las cantidades, en onzas, de Ferroforo y Fosfatón, respectivamente, que
debemos añadir a la dieta de los animales diariamente.
• Restricciones del problema:
Al echar a la dieta x1 onzas de Ferroforo y x2 onzas de Fosfatón estaríamos
proporcionando a la misma el siguiente aporte nutricional diario:
0.15 x1 +...