Programacion lineal

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD EN LA TABLA SIMPLEX

Análisis de Sensibilidad
En una tabla simplex es posible obtener información de: 1. 2. 3. La solución óptima. El estado de los recursos. El valor unitario de los recursos (precios duales o precios sombras) y los costos reducidos. La sensibilidad de la solución óptima a cambios en la disponibilidad de recursos, ganancia (o costo) marginal(coeficientes de la función objetivo) y el uso de los recursos por las actividades del modelo.

4.

Análisis de Sensibilidad
Ejemplo 1 Supongamos el siguiente planteamiento: Max 5X1 + 4X2 Sujeto a: 6X1 + 4X2 ≤ 24 X1 + 2X2 ≤ 6 -X1 + X2 ≤ 1 X2 ≤ 2 X1, X2 ≥ 0 Analice el rango de variabilidad de C2/C1 Analice el rango de variabilidad de los recursos

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Solución: Pasando a suforma estándar: Max Z = 5X1 + 4X2 Sujeto a: 6X1 + 4X2 + S1 = 24 X1 + 2X2 + S2 = 6 -X1 + X2 + S3 = 1 X2 + S4 = 2 Xi, Si ≥ 0 Si llevamos este planteamiento a una tabla simplex y resolvemos, se obtiene:

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Solución: Tabla inicial:
Básico Z S1 S2 S3 S4 Z 1 0 0 0 0 X1 -5 6 1 -1 0 X2 -4 4 2 1 1 S1 0 1 0 0 0 S2 0 0 1 0 0 S3 0 0 0 1 0 S4 0 0 0 0 1 Solución 0 24 6 1 2

TablaFinal:
Básico Z X1 X2 S3 S4 Z 1 0 0 0 0 X1 0 1 0 0 0 X2 0 0 1 0 0 S1 3/4 1/4 -1/8 3/8 1/8 S2 1/2 -1/2 3/4 -5/4 -3/4 S3 0 0 0 1 0 S4 0 0 0 0 1 Solución 21 3 3/2 5/2 1/2

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I. Solución Óptima La clasificación matemática de las variables como básicas y no básicas no es de importancia y debe ignorarse en su totalidad en la lectura de la solución óptima. Las variables noenlistadas en la columna “básica” tienen necesariamente valor igual a cero. El resto de las variables tienen sus valores en la columna de la solución. De esta forma, observamos que X1 y X2 tienen valores óptimos de 3 y 1.5 respectivamente. Dichos valores dichos valores provocan un valor máximo de 21 unidades en la función objetivo (Z).

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II. Estado de Recursos Una restricciónse clasifica como escasa o abundante, respectivamente, ya sea que la solución “consuma” o no la cantidad total disponible del recurso asociado. El estado de los recursos (abundantes o escasos) en cualquier modelo de programación lineal, se puede obtener en forma directa de la tabla óptima, observando los valores de las variables de holgura. Una holgura positiva significa que el recurso no se usatotalmente, o sea, que es abundante, en tanto que una holgura igual a cero indica que la cantidad de total del recurso se consume por las actividades del modelo.

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III. Precio Dual (valor unitario de un recurso) Sean Y1, Y2, Y3 y Y4 los precios duales de los recursos 1, 2, 3 y 4 respectivamente, de esta forma: Y1 = 3/4, Y2= 1/2, Y3 = 0 y Y4 = 0 Esta información seobtiene fácilmente en la tabla simplex óptima (en los coeficientes de la ecuación Z objetivo). Estos coeficientes (3/4, 1/2, 0, 0) son exactamente iguales a los valores unitarios o precios duales enlistados antes. La teoría de la programación lineal nos dice que siempre es posible asegurar el precio dual de un recurso a partir de los coeficientes de las variables básicas iniciales.

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III. Precio Dual (valor unitario de un recurso) Volviendo a los recursos 3 y 4, encontramos que sus valores unitarios o precios duales son cero (Y3 = 0, Y4 = 0). Esto es lógico puesto que dichos recursos son abundantes, dado que sus valores de holgura son positivos. Finalmente, esta definición de precios duales (valor unitario de un recurso) nos da la tasa de mejora del valor óptimo deZ, pero no especifica la cantidad por la que se puede cambiar un recurso, mientras mantiene la misma tasa de mejora.

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IV. Cambio Máximo en Disponibilidad de Recursos Se intenta determinar el intervalo de cambios en la disponibilidad de un recurso, para el cual los valores unitarios (precios duales) permanecen aplicables. Supongamos que cambiamos el primer recurso del...