Programacion lineal

UNIDAD 4

PROGRAMACIÓN LINEAL

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Problema 1 Para representar y – x ≤ 2, representa la recta y – x = 2. Después, para decidir a cuál de los dos semiplanos corresponde la inecuación, toma un punto cualquiera exterior a la recta y comprueba si sus coordenadas verifican o no la desigualdad. Análogamente, representa: x + 5y ≥ 10 x + 2y ≤ 16 2x + y ≤ 20

y–x≤2 1 1 1 1

x + 5y ≥ 10x + 2y ≤ 16 1 1

2x + y ≤ 20 2 2

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Problema 2 Representa el recinto formado por las siguientes condiciones: y – x ≤ 2; x + 5y ≥ 10; x + 2y ≤ 16; 2x + y ≤ 20
x + 5y = 10
1 1

y
x+

–

x

=
0 2y =

2

2x +y =2 16

Unidad 4. Programación lineal

1

Problema 3 Un comerciante acude al mercado a comprar naranjas. Dispone de 500 € y en su furgoneta caben 700 kg. Enel mercado hay naranjas de tipo A a 0,5 € y de tipo B a 0,8 €. Él las podrá vender a 0,58 € las de tipo A y a 0,9 € las de tipo B, y se cuestiona cuántos kilogramos de cada tipo debería comprar para conseguir que los beneficios sean lo más altos posible. a) Si se gasta todo el dinero en naranjas de tipo B, ¿cuántos kilos le caben aún en su furgoneta? b) Si llena la furgoneta con naranjas de tipo A,¿cuánto dinero le sobra? ¿Cuál será el beneficio? c) ¿Cuál será el beneficio si compra 400 kg de naranjas de tipo A y 300 kg de tipo B? a) 500 : 0,8 = 625 kg de naranjas de tipo B puede comprar. 700 – 625 = 75 kg le caben aún en su furgoneta. b) 700 · 0,5 = 350 € se gasta. 500 – 350 = 150 € le sobran. Beneficio = 700 · (0,58 – 0,5) = 56 € c) 400 · (0,58 – 0,5) + 300(0,9 – 0,8) = 62 € debeneficio.

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR
1 Minimiza la función f (x, y) = 2x + 8y sometida a las siguientes restricciones:  x ≥ 0, y ≥ 0   2x + 4y ≥ 8  2x – 5y ≤ 0   –x + 5y ≤ 5  • Representamos las rectas:  2x + 4y = 8   2x – 5y = 0  –x + 5y = 5  → x + 2y = 4

y hallamos la región que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta que x ≥ 0 e y ≥0.
Unidad 4. Programación lineal

2

• Representamos la dirección de las rectas z = 2x + 8y, dibujando la que pasa por el origen de coordenadas: 2x + 8y = 0 → x + 4y = 0
x+ 2y =4

2 1 1

y=5 –x + 5

2

5y x–

=0

2

3 4 x+4 y=

5
0

• El mínimo se alcanza en el punto de intersección de las rectas: x + 2y = 4   2x – 5y = 0  20 x = —– 9 8 y=— 9     Punto   

(20 8 , 9 9

)

• El mínimo vale f 2

(

20 8 104 , = . 9 9 9

)

Maximiza y minimiza la función p = x + 2y – 3 con las siguientes restricciones:  2x – 3y ≥ 0   5y ≤ 9  3x ≤ 2  • Representamos las rectas:  2x – 3y = 0  5y = 9   3x =2  y hallamos la región que cumple las condiciones del problema. • Representamos la dirección de las rectas p = x + 2y – 3, dibujando la recta x +2y – 3 = 0:
2 x=— 3 2 1 9 y=— 5 0 y= –3 2x x + 2 y– 1 2

La restricción 5y ≤ 9 es superflua. La región sería la misma sin ella. • El máximo se alcanza en el punto de intersección de las rectas: 2 2x – 3y = 0  x = —–  3 2  x=— 4  y=— 3  9 El máximo es p   2 4   Punto 3 , 9   

3=

0

(

)

(

2 4 , 3 9

)

=

2 8 –13 + – 3 = 3 9 9

• No hay mínimo.
Unidad 4.Programación lineal

3

3

Maximiza la función z = 3x + 4y sujeta a las siguientes restricciones:  2x + 3y ≥ 36   2x + 2y ≥ 28  8x + 2y ≥ 32  x + y ≥ 0  • Representamos las rectas:  2x   2x  8x   x  + + + + 3y 2y 2y y = = = = 36 28 32 0 → x + y = 14 → 4x + y = 16

y obtenemos la región que cumple las condiciones del problema. • Representamos la dirección de las rectas z = 3x +4y, dibujando la recta 3x + 4y = 0: La restricción x + y ≥ 0 es superflua. La región sería la misma sin ella.
2x +3 y=

36

• No hay máximo. La función 3x + 4y se puede hacer tan grande como se quiera en el recinto propuesto.

6 y=1 4x +

x

x + y =
+ 3x

+ y = 14

0
= 0

4y

1

1

4

En la región determinada por 3x + y ≥ 5, x – y ≤ 0, x ≥ 0 e y ≥ 0, halla el punto en...