programacion lineal


SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS
En esta guía se abordarán los Sistemas de Inecuaciones con dos Incógnitas. Su resolución es una habilidad que te conviene adquirir ya que será indispensable para resolver ejercicios de PROGRAMACIÓN LINEAL.
La programación lineal un sistema que sirve para optimizar recursos. Ya fue utilizado conéxitos en el bloque de la URSS a Berlín y mucho antes para conseguir un mayor engorde del ganado con el menor alimento posible. Su desarrollo real comenzó en 1947 cuando G.B. Dantzing formuló un sistema denominado método símplex para la resolución de estos problemas.
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas puedes dar los siguientes pasos:
1. Representagráficamente las inecuaciones como si fuesen rectas.
2. Señala (pinta) el semiplano respuesta según aparazca el signo menor o mayor en la inecuación.
3. La región común de todos los semiplanos es la región respuesta.
4. Para determinar completamente la solución, se calculan las coordenadas de los vértices de esa región.
Importante: sé meticuloso en la representación.
A continuación se te muestraun ejemplo.
.



Ejercicios propuestos



2)

3)

4)
5) Ejercicios resueltos de sistemas de inecuaciones12x + y = 3x = 0; 2 · 0 + y = 3; y = 3; (0, 3)
x = 1; 2 · 1 + y = 3; y = 1; (1, 1)

2x + y ≤ 3
2 · 0 + 0 ≤ 3 0 ≤ 3 Sí

x + y = 1
x = 0; 0 + y = 1; y = 1; (0, 1)
x = 1; 1 + y = 1; y = 0; (1, 0)
;
x + y ≥ 1
0 + 0 ≥ 1 No



Ejercicios resueltos de sistemas deinecuaciones
2
Resolver los sistemas:

x = 4
y = 2


Ejercicios resueltos de sistemas de inecuaciones
3
2
x + y = 0 (0, 0) (1, -1)
2 + 2 ≥ 0

2x − y = 0 (0, 0) (1, 2)
2 ·2 − 2 ≥ 0



Ejercicios resueltos de sistemas de inecuaciones
4

x + y = 0 (0, 0) (1, -1)
2 + 2 ≥ 0

2x − y = 0 (0, 0) (1, 2)
2 ·2 − 2 ≥ 0

2 ≤ 6



Ejercicios resueltos de sistemas deinecuaciones
5




[−1, 3]

Ejercicios resueltos de sistemas de inecuaciones
6




(3, ∞)

Ejercicios resueltos de sistemas de inecuaciones
7




No tiene solución.

Ejercicios resueltos de sistemas de inecuaciones
8

(x +1) · 10 + x ≤ 6 (2x + 1)
10x + 10 + x ≤ 12 x + 6
10 x + x - 12x ≤ 6 - 10
−x ≤− 4 x ≥ 4





[4, 7)

Principio del formulario
Final delformulario

EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
1. Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversiónen B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?
Solución
Es un problema de programación lineal.
Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A
Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B

inversión
rendimiento
Tipo A
x
0,1x
Tipo B
y
0,08y
210000 0,1x+0,08y
Condiciones que deben cumplirse(restricciones):


R1
R2
R3
R4
Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la región factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones)
r1 r2 (paralela a OY) r3(paralela a OX) r4
x
y

x
y

x
y

x
y
0
210000

130000
0

0
60000

0
0
210000
0







130000
65000
La región factible es la pintada de amarillo, de vértices A, B, C,D y E

A(0, 60000), B(120000, 60000), C(130000, 65000), D(130000, 80000) y E(0, 210000)
La función objetivo es;
F(x, y)= 0,1x+0,08y
Si dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar gráficamente que el vértice mas alejado es el D, y por tanto es la solución óptima.
Comprobarlo analíticamente (es decir comprobar que el valor máximo de la función objetivo, F,...